Finden Sie eine Doppelfolge (a_{n,m}) also ein zweidimensionales unendliches Array, so dass für jedes n der Grenzwert …

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine Doppelfolge \( (a_{n,m})^\infty_{n,m = 1} \) also ein zweidimensionales unendliches Array, so dass für jedes \( n \) der Grenzwert \( v_n = lim_{m\rightarrow \infty} a_{n,m} \) existiert, und für jedes \( m \) der Grenzwert \( h_m = lim_{n\rightarrow \infty} a_{n,m} \) existiert, die Grenzwerte \( v = lim_{n\rightarrow \infty} v_n \) und \( h = lim_{m\rightarrow \infty} h_m \) existieren, aber \( v \neq h \) ist.

Nach längerem Überlegen habe ich immer noch keinen Lösungsansatz.

Answer 1

Also ich entnehme jetzt mal deiner Aufgabe, dass du eine Folge \( \left(a_{n, m}\right)_{n, m \in \mathbb{N}} \) finden sollst, für welche

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\lim \limits_{m \rightarrow \infty} a_{n, m}\right) \neq \lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n, m}\right) . \)

Ein Beispiel für eine solche Folge wäre

\( a_{n, m}=e^{-\frac{m}{n}} \)

denn es gilt ja

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\lim \limits_{m \rightarrow \infty} e^{-\frac{m}{n}}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 0=0 \neq 1=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} 1=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{-\frac{m}{n}}\right) . \)