Aloha :)
Ersetze die obere Grenze \(\infty\) erstmal durch eine Variable \(a\) und berechne dann mittels partieller Integration:$$f_n(a)=\int\limits_0^a\underbrace{x^n}_{=:u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=:v'}\,dx=\left.\underbrace{x^n}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\right|_0^a-\int\limits_0^a\underbrace{nx^{n-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\,dx=-\frac{a^n}{e^a}+nf_{n-1}(a)$$Im Grenzübergang \(a\to\infty\) verschwindet der Bruch \(\frac{a^n}{e^a}\), weil die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz von \(a\), sodass gilt:$$f_n(\infty)=nf_{n-1}(\infty)$$Speziell für \(n=0\) ergibt sich:$$f_0(a)=\int\limits_0^ax^0\cdot e^{-x}\,dx=\left.(-e^{-x})\right|_0^a=-e^{-a}+1\;\;\Rightarrow\;\;f_0(\infty)=1$$Im Fall, dass \(n\in\mathbb{N}\) gilt, hast du damit eine Rekursionsgleichung gefunden:$$f_n(\infty)=n\cdot f_{n-1}(\infty)\;\;;\;\;f_0(\infty)=1$$Daher ist:$$f_n(\infty)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1=n!$$
