0 Daumen
1,1k Aufrufe

Hallo liebe Mathefans,

ich soll folgendes Integral bestimmen:

$$\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$

Wie mache ich das mit dem Unendlich?

Danke schon mal für eure Hilfe.

Avatar von

Kannst du mal die Integrale für n = 1, 2, 3 und 5 bestimmen und etwas vermuten. Kannst du eventuell zeigen das es für alle n gilt?

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Ersetze die obere Grenze \(\infty\) erstmal durch eine Variable \(a\) und berechne dann mittels partieller Integration:$$f_n(a)=\int\limits_0^a\underbrace{x^n}_{=:u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=:v'}\,dx=\left.\underbrace{x^n}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\right|_0^a-\int\limits_0^a\underbrace{nx^{n-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\,dx=-\frac{a^n}{e^a}+nf_{n-1}(a)$$Im Grenzübergang \(a\to\infty\) verschwindet der Bruch \(\frac{a^n}{e^a}\), weil die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz von \(a\), sodass gilt:$$f_n(\infty)=nf_{n-1}(\infty)$$Speziell für \(n=0\) ergibt sich:$$f_0(a)=\int\limits_0^ax^0\cdot e^{-x}\,dx=\left.(-e^{-x})\right|_0^a=-e^{-a}+1\;\;\Rightarrow\;\;f_0(\infty)=1$$Im Fall, dass \(n\in\mathbb{N}\) gilt, hast du damit eine Rekursionsgleichung gefunden:$$f_n(\infty)=n\cdot f_{n-1}(\infty)\;\;;\;\;f_0(\infty)=1$$Daher ist:$$f_n(\infty)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1=n!$$

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen
Avatar von 81 k 🚀

Da kommt \(\Gamma(n+1)\) raus. Im Rechenweg wird das Integral in ein anderes Integral umgeformt. Das hilft mir nicht wirklich weiter.

Trotzdem Danke.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community