unendliches Integral xn*e^(-x)

Question

Hallo liebe Mathefans,

ich soll folgendes Integral bestimmen:

$$\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$

Wie mache ich das mit dem Unendlich?

Danke schon mal für eure Hilfe.

Comments

Kannst du mal die Integrale für n = 1, 2, 3 und 5 bestimmen und etwas vermuten. Kannst du eventuell zeigen das es für alle n gilt?

Answer 1

Aloha :)

Ersetze die obere Grenze $\infty$ erstmal durch eine Variable $a$ und berechne dann mittels partieller Integration:$$f_n(a)=\int\limits_0^a\underbrace{x^n}_{=:u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=:v'}\,dx=\left.\underbrace{x^n}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\right|_0^a-\int\limits_0^a\underbrace{nx^{n-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\,dx=-\frac{a^n}{e^a}+nf_{n-1}(a)$$Im Grenzübergang $a\to\infty$ verschwindet der Bruch $\frac{a^n}{e^a}$, weil die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz von $a$, sodass gilt:$$f_n(\infty)=nf_{n-1}(\infty)$$Speziell für $n=0$ ergibt sich:$$f_0(a)=\int\limits_0^ax^0\cdot e^{-x}\,dx=\left.(-e^{-x})\right|_0^a=-e^{-a}+1\;\;\Rightarrow\;\;f_0(\infty)=1$$Im Fall, dass $n\in\mathbb{N}$ gilt, hast du damit eine Rekursionsgleichung gefunden:$$f_n(\infty)=n\cdot f_{n-1}(\infty)\;\;;\;\;f_0(\infty)=1$$Daher ist:$$f_n(\infty)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1=n!$$

Answer 2

https://www.integralrechner.de/

Comments

Da kommt $\Gamma(n+1)$ raus. Im Rechenweg wird das Integral in ein anderes Integral umgeformt. Das hilft mir nicht wirklich weiter.

Trotzdem Danke.