Bestimmtes Integral von f(x) = 1/2*(2*x^2+4*x)/(4*x^2) in den Grenzen 1 bis e bestimmen.

Question

Aufgabe:

Das Integral von 1/2*(2*x^2+4*x)/(4*x^2) in den Grenzen 1 bis e berechnen.

Problem/Ansatz:

Zunächst hatte ich über Partialbruchzerlegung nachgedacht, allerdings lässt sich der Bruch wohl kürzen, sodass das nicht notwendig wäre. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das kürzen kann und mit welchen Regeln. Bin ziemlich überfordert und komme einfach nicht auf die Lösung...

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$I=\int\limits_1^e\frac{1}{2}\cdot\frac{2x^2+4x}{4x^2}\,dx=\int\limits_1^e\frac{2x^2+4x}{8x^2}\,dx=\int\limits_1^e\left(\frac{2x^2}{8x^2}+\frac{4x}{8x^2}\right)\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^e\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2x}\right)\,dx=\left[\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\ln(x)\right]_1^e=\left(\frac{e}{4}+\frac{1}{2}\ln(e)\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln(1)\right)$$$$\phantom{I}=\frac{e}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{e+1}{4}$$

Comments

Ich weine vor Glück! Die Lösung war so einfach.... VIELEN VIELEN DANK! :-D

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Eine Frage hätte ich noch wieso ist die Stammfunktion von \( \frac{1}{2x} \) nicht einfach ln(2x). Wieso kommt da das 1/2 davor?

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Das \(\frac{1}{2}\) muss davor, denn$$\int\frac{1}{2x}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{2}\,\ln(x)+\text{const}$$

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Ich war nur über das ln (2x) verwundert. Aber das wurde ja schon ausgebessert. Vielen vielen Dank nochmal!