Bestimmtes Integral Grenzen

Question

Aufgabe:

Mit dem Integrieren habe ich eigentlich keine Probleme, aber bei Integralen mit der Indikatorfunktion verstehe ich nicht, wie man auf die neuen Grenzen kommt. Könnte mir das jemand bitte bei der Aufgabe erklären?

Problem/Ansatz:

\( =\int \limits_{-\infty}^{t} e^{x} \mathbf{1}_{(-\infty, 0)}(x) \mathrm{d} x \)
\( =\int \limits_{-\infty}^{t} e^{x} \mathrm{d} x \mathbf{1}_{(-\infty, 0)}(t)+\int \limits_{-\infty}^{0} e^{x} \mathrm{d} x \mathbf{1}_{[0, \infty)}(t) \)

Answer 1

Schau mal unter

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!908:Indikatorfunktion

Wenn x nicht mehr im Intervall (-∞ ; 0) ist, dann nimmt die Indikatorfunktion den Wert 0 an und damit brauchst du den Teil nicht mehr integrieren, weil dann die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ebenfalls Null ist.

Man benutzt die Indikatorfunktion für abschnittsweise definierte Funktionen.

Die Funktion mit Indikatorfunktion die du integrierst sieht damit wie folgt aus

~plot~ e^x*(x<0) ~plot~

Comments

Genau danke, aber wie kommt man denn dadrauf, zwei integrale zu berechnen und warum betrachtet man -inf bis 0 beim zweiten integral?

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Du berechnest nicht zwei Integrale sondern nur alternativ das erste oder das zweite

∫ (-∞ bis t) e^x·1(-∞ ; 0)(x) dx

Das ist die obige Funktion, die Du im Intervall von (-∞ ; t] integrieren möchtest. Liegt t dabei im Intervall (-∞ ; 0), indm die Funktion ja immer den Funktionswert e^x annimmt können wir das Integral bestimmen

∫ (-∞ bis t) e^x dx·1(-∞ ; 0)(t)

Beachte das 1(-∞ ; 0)(t) in diesem Intervall den Wert 1 annimmt und ansonsten der Wert 0.

Liegt t dabei im Intervall [0 ; ∞), will man also in den positiven Bereich hinein integrieren brauch ich nur bis 0 integrieren, weil danach die Funktionswerte der Integrandenfunktion Null werden.

+ ∫ (-∞ bis 0) e^x dx·1[0 ; ∞)(t)

Hier nimmt 1[0 ; ∞)(t) den Wert 1 an falls t nicht negativ ist.

So setzt die Indikatorfunktion automatisch eines der beiden Integrale auf 0, sodass immer nur eines von beiden berechnet wird.

Du könntest das wie eine Fallunterscheidung sehen.

Wenn t <0 dann
 ∫ (-∞ bis t) e^x dx
sonst
 ∫ (-∞ bis 0) e^x dx

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Achso, verstehe.