Bestimmtes Integral mit unbekannten Grenzen

Question

Hallo! Folgende Aufgabe ist gegeben:

Gegeben ist für das bestimmte Integral \( \int\limits_{k}^{3k} \) x² dx.

Ermittle für welches k dieses Integral 26/3 ist!

Ich hab echt keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll. Könnte mir jemand helfen?

Danke!

Answer 1

Rechne die Stammfunktion F aus, die wäre:

1/3 * x^3 = F(x)

dann setze die Integralrandwerte ein und subtrahiere die y-Werte von den Integralranwerte und setze sie gleich 26/3.

Also F(3k)-F(k)= 26/3

1/3 * (3k)^3 - 1/3 * k^3

= 1/3 (27k^3-k^3)

= 1/3 * 26k^3 = 26/3

26k^3=  26

=> k=1

Comments

Warum k=-1 ?

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Weil wenn du beide Seiten durch 26 teilst, dann kommst du auf k^3=1 , die dritte Wurzel wäre -1. Zudem wenn du k=-1 setzt, hast du Integrale von -26/3 FE , was ja im Grunde hier äquivalent zu 26/3 FE wäre.

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Die dritte Wurzel aus 1 wäre also -1 ? Weil bekanntlich (-1)³ = 1 ist?

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Ok, vergiss den ersten Satz, aber der zweite ist richtig.

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Ok, den ersten Satz vergesse ich. Den zweiten auch.

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Arsinoe dein Kommentar bringt mich wirklich zum schmunzeln auch wenn es ein bisschen toxisch ist xD

aki57 korrigiere doch kurz noch deine Antwort, damit das wenigstens richtig gestellt wird.

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Ok, ich hoffe, ihr seid jetzt glücklich.

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Das Minus muss komplett weg, es macht einen großen Unterschied ob das Integral den Wert 26/3 hat oder -26/3. Wieso denkst du denn, dass das in diesem Fall äquivalent ist?

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Weil ich es vom Abi gelernt habe, dass wenn man eine negative Fläche hat, dass man es dann positiv schreiben muss. Und wenn du k=-1 einsetzt, dann hast du nun mal eine Fläche von 26/3, wenn du das ausrechnest. Mein Gott.

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Ja das unterscheidet aber leider noch die Mathematik an der Schule mit der aus der Uni. Es gibt allgemein keine Flächen mit negativen Flächeninhalt. Aber diese Veranschaulichung des Integrals ist nun mal nur eine Veranschaulichung. Es macht einen großen Unterschied ob das Integral Positives oder Negatives Vorzeichen besitzt.

(PS: nimms locker, fehler passieren)

LG :)

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Alles klar, habe es korrigiert. Entschuldige, dass ich mich bei dir falsch verhalten habe.

Answer 2

\( \frac{26}{3}=\int \limits_{k}^{3 k} x^{2} \cdot d x=\left[\frac{1}{3} x^{3}\right]_{k}^{3 k}=\left[9 k^{3}\right]-\left[\frac{1}{3} k^{3}\right]=\frac{26}{3} k^{3} \)
\( k^{3}=1 \)
\( k=1 \)