Wie viele verschiedene Startlisten gibt es, wenn alle Teilnehmer unterscheidbar sind?

Question

Ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe:

Bei einem Skirennen nehmen 15 Teilnehmer teil wobei darunter 6 Österreicher, 5 Deutsche und 4 Italiener sind. Es wird nun die Startliste betrachtet.

a) Wie viele verschiedene Startlisten gibt es, wenn alle Teilnehmer unterscheidbar sind?

Nach dem Urnenmodell 4 (mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen) ergibt sich daraus 15! für alle Möglichkeiten.

b) Wie viele verschiedene Startlisten gibt es, wenn die Teilnehmer nur nach Nationalität unterscheidbar sind?

Wir haben diese Aufgabe bereits besprochen und als Lösung wurde:

\( \frac{15!}{6!5!4!} \) angegeben.

Aber wie kommt man auf diesen Bruch?

Vielen Dank!

Answer 1

b) Permutation mit Wiederholung:

https://www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung

oder so:

(15über6)*(9über5)*(4über4)

Answer 2

Aber wie kommt man auf diesen Bruch?

Du hast laut a) insgesamt \(15!\) Möglichkeiten. Jetzt musst du aber die Möglichkeiten für die einzelnen Nationalitäten wieder herausrechnen. Dann liefert dir für die Österreicher \(6!\) Reihenfolgen, für die Deutschen \(5!\) und für die Italiener \(4!\) Reihenfolgen. Man rechnet diese Möglichkeiten dann durch Division einfach aus der Gesamtzahl wieder heraus. Damit ergibt sich genau dieser Bruch.