Question

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, einen Turm aus drei Klötzchen zu bauen, wenn man 3 blaue, 3 grüne und 3 gelbe Klötzchen hat? (Bitte mit nachvollziehbarer Rechnung.)

Answer 1

Hallo Marie,

Das ist Permutation, mit Wiederholung, da es Objekte gibt, die man nicht von einem anderen unterscheiden kann. (z. B. gelb, gelb, gelb). Dort gibt es folgende Formel:$$\frac{n!}{k_{1} \cdot k_{2} \cdot ... \cdot k_{s}}$$ Hierbei ist "n" die Grudnmenge (alle Elemente zusammen) und "k" die einzelen Gruppen. Setzen wir dort ein:$$\frac{9!}{3!\cdot 3! \cdot 3!}=1680$$ Das ist eigentlich schon alles. Es gibt aber noch einen "Multinominalkoeffizient", der dir die Notation vereinfacht:$$\begin{pmatrix} 9 \\ 3,3,3 \end{pmatrix}=1680$$

Schönes Restwochende!

Comments

In der Aufgabe wird ein Turm aus drei Klötzchen gebaut.

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Gut aufgepasst!

Es gibt für jeden "Slot" 3 Möglichkeiten. Also wenn die Reihenfogle keinen Rolle spielt:

3^3=27

Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt:

27*3!=162

Das denke ich mal

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Die Reihenfolge spielt natürlich eine Rolle.

Wie viele Möglichkeiten gibt es für das erste Klötzchen? Und dann für das zweite?

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Ja, das ist klar!

3*2*1

Aber es sind ja nicht insgesamt 6 Möglichkeiten :D Ich denke, dass meine Antwort mit 162 so stimmen sollte.

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Auch für das zweite Klötzchen gibt es drei Farben zur Auswahl. Insgesamt also für den ganzen Turm mit Beachtung der Reihenfolge 3³=27 Möglichkeiten.

Bitte lese Dir nochmal die Aufgabenstellung durch und vergleiche meine Lösung mit der "Lösung" aus Deinem Kommentar.

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Ja, da es von jeder Farbe drei Klötzchen gibt, ist es mit Zurücklegen.

27 scheint mir am Korrektesten zu sein.

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Hatte ich dir nicht mal geraten NICHT in Formeln zu denken?

Das denken in Formeln ist zwar sehr verlockend aber auch trügerisch.

Hier mag es gerade noch gut gehen aber was hätte man gemacht wenn der Turm plötzlich aus vier Klötzchen bestehen soll.

Mit einer Formel bist du starr. Wenn du nicht in Formeln denkst und das System verstehst dann kannst du auch Dinge lösen wo man eben nicht eine einfache Formel nehmen kann.

Zur Vereinfachung lohnt es aber trotzdem die Formeln zumindest zu kennen. Damit man lästige Ausdrücke einfacher schreiben kann.

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Hm, wenn ich darüber nachdenke ist es eigentlich komplett logisch.

Stichprobe, mit Zurücklegen und geordnet!

Also n^k ---> 3^3=27

Answer 2

Für das unterste Klötzchen haben wir drei Farben zur Auswahl.

Für das mittlere Klötzchen haben wir drei Farben zur Auswahl.

Für das obere Klötzchen haben wir drei Farben zur Auswahl.

Gemäß des Fundamentalprinzip der Kombinatorik werden die Möglichkeiten entlang eines Pfades multipliziert.

Man kommt damit auf 3 * 3 * 3 = 27 Möglichkeiten.

Comments

Die Aufgabenstellung ist sicherlich so gemeint. Sie enthält aber einen - häufig vorkommenden - Formulierungsfehler:

Es müsste "unterscheidbare Möglichkeiten" statt "verschiedene Möglichkeiten" heißen.

Man könnte z.B. drei (optisch) nicht unterscheidbare Türme nebeneinanderstellen, die aber sehr wohl verschieden wären, denn es sind eindeutig nicht dieselben Türme.

Logisch korrekt(er) wäre deshalb wohl die Lösung 9*8*7 Möglichkeiten.

Nachtrag:

In Abitur-Korrektorenkonferenzen werden in solchen Fällen (notgedrungen, denn die andere Lösung steht in den Lösungsvorschlägen) beide Lösungen anerkannt. Und im Sinne seiner Schüler akzeptiert sowieso (fast) jeder Lehrer großzügige Bewertungsvorschriften :-)

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Da hast du sicher recht. Sprachlich wird das in der Schule nicht so genau genommen.

Man trifft folgende Formulierungen häufig an

Wie viele Möglichkeiten gibt es ...

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es ...

Wie viele unterscheidbare Möglichkeiten gibt es ...

Meist werden diese 3 Formulierungen gleichwertig verwendet. Wie so oft gilt: Wenn etwas unklar ist, sollte mit dem Fachlehrer Rücksprache gehalten werden, um zu klären wie was berücksichtigt werden soll.

Ganz schlimm ist auch in der Schule manchmal ein fehlendes genau.

Wie viele verschiedene/unterscheidbare Möglichkeiten gibt es wenn eine Kugel blau sein soll.

Wie viele verschiedene/unterscheidbare Möglichkeiten gibt es wenn genau eine Kugel blau sein soll.

Wie viele verschiedene/unterscheidbare Möglichkeiten gibt es wenn mindestens eine Kugel blau sein soll.