Primzahl hoch k. Alle Teiler finden.

Question

Warum handelt es sich bei

p^k= p⁰+p¹+p²+...+p^k um alle Teiler der Zahl p^k?

p ∈ ℙ (Primzahlen), k∈ℕ

Würde mich über eine ausführliche Antwort sehr freuen!!

Answer 1

diese Gleichung ist falsch und deine Frage nicht sonderlich sinngemäß gestellt. Ich versuche mal drauf einzugehen, was ich vermute, was du eigentlich fragen möchtest.

Wenn \(p \in \mathbb{P}\) dann hat diese Zahl nur sich selbst und die Eins als Teiler.

Außerdem sollte klar sein, dass für alle \(k \in \mathbb{N} \), die Zahl \(p^k\) alle Teiler von \(p^{k-1}\) als Teiler besitzt (sowie sich selbst natürlich). Rekursiv bedeutet dies sofort, dass alle Teiler von \(p^k\) die Form \(p^m\) mit \( 0 \leq m \leq k\) besitzen.

Gruß

Comments

Leider verstehe ich das nicht so wirklich...:(

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Mit so einem Kommentar lässt sich nicht viel anfangen...wenn du wenigstens genau schreiben würdest was dir unklar ist.

Die Zahl steht ja doch selbst schon in ihrer Primfaktorzerlegung da: \(p^k = \underbrace{p \cdot p \cdot p \cdots p}_{\text{k mal}} \).

Dass die 1 ein Teiler ist, ist ja klar. Alle anderen Teiler erhältst du durch die beliebige Kombination der Primfaktoren (sind ja alle \(p\)). Das heißt konkret du kannst \(p\) bis zu \(k\) mal mit sich selbst multiplizieren.

Also sind die Teiler: \(1, p, p^2, p^3,...p^k\)

oder kurz: \(p^m, \ 0\leq m\leq k\).

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Danke für deine Hilfe! Die Antwort hat mir viel weitergeholfen. Aber was bedeutet jetzt p^m 0≤m≤k? 

Also damit soll ja die positive Teilermenge von p beschrieben werden...

Trotzdem ist mir das noch nicht ganz klar...Wahrscheinlich eine blöde Frage, aber ich kann damit grade nichts anfangen.

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Das ist die Kurzfassung von der Zeile die dadrüber steht.

In Worten: Du kannst jeden Teiler als Potenz von \(p\) darstellen, wobei der Exponent eine Zahl zwischen 0 und k sein kann.

Answer 2

Schreibe dir selber mal die Teiler von 2^10 = 1024 auf.

Sicher wird es dir dann klarer.

Comments

Für 2¹⁰ = 1024 finde ich die Teiler 1,2,4,8,16, 32,...,1024
Das ist ja nichts anderes als 2⁰,2¹,2^2,2³,...,2¹⁰Also das das so sein muss scheint mir schon logisch, nur weiß ich trotzdem nicht, wie ich das begründen kann. Sorry, ich komme einfach nicht drauf...

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Die Faktorzerlegung von 1024 ist ja

2·2·2·2·2·2·2·2·2·2

Wenn du von 1024 jetzt Teiler von 1024 suchst, ist jedes Produkt aus jede beliebige Teilmenge dieser zehn Zweien ein Faktor. Ich kann hier aber nur ein beliebige Menge an Zweien nehmen und sonst keine Kombinationen bilden.

Anders sieht es bei 30 = 2 * 3 * 5 aus

Da finden wir folgende Teiler:

1, 2, 3, 5, 2*3, 2*5, 3*5 und 2*3*5

Hier ist es also auch noch entscheidend welche Faktoren man nimmt und nicht nur wie viele.

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Danke, jetzt ist es mir klar geworden!=)

Answer 3

p ist Element der Primzahlen, bedeutet: p steht für eine Zahl, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Ein gutes Beispiel ist die 2 (die auch zu den Primzahlen gehört).

Setzt du sie für p ein und einen Exponenten z.B. 8, so kannst du durch Addition - wie sie in deiner Aufgabe geschrieben steht, sehen-ob die Annahme stimmt. Immer wichtig, wenn es um mathematische Beweise geht.

2⁸ = 256