f(x)= - x4 + x³ + 19x² + 11x - 30 Nullstellen berechnen

Question

f(x)= - x4 + x³ + 19x² + 11x - 30 Welche verschiedenen Verfahren kann man verwenden um von dieser Funktion die Nullstellen zu berechnen?

Ich habe bereits die Nullstelle x=1 erraten und probiert die Polynomdivision anzuwenden, allerdings kam dabei eine Rest 2 heraus. Jetzt frage ich mich, wie man die Nullstellen nun errechnen kann?

Bitte schreibt noch nicht den Lösungsweg hin, sondern nennt mir bitte nur die Verfahren...am besten gleich mehrere, die nach eurem Empfinden passend wären.

Die Rechnung mache ich selbst.

Ich

Answer 1

Gemäß gfplot hat der Graph die folgenden Nullstellen: 

x₁ = 1
x₂ = -2
x₃ = -3
x₄ = 5

Und so sieht er aus: 

~plot~-x^4+x^3+19*x^2 + 11*x - 30~plot~

Sicher kannst du das Newtonverfahren verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.

Answer 2

- x^4 + x^3 + 19·x^2 + 11·x - 30 = 0

Über eine Wertetabelle findet man alle Nullstellen

x = 5 ∨ x = -3 ∨ x = -2 ∨ x = 1

Da eine Funktion 4. Grades nur 4 Nullstellen haben kann hat man alle gefunden. Warum dann also noch eine Polynomdivision machen.

Wir kennen jetzt die Faktorzerlegung

- x^4 + x^3 + 19·x^2 + 11·x - 30 = (1 - x)·(x + 2)·(x + 3)·(x - 5)

Answer 3

allerdings kam dabei eine Rest 2 heraus.

Dann hast Du Dich wohl nur verrechnet.

Zu den anderen Antworten ist zu bemerken, dass weder Plotter noch Newton noch Wertetabelle schulbetriebgeeignete Lösungswege darstellen.

Plotter gibt keinen Lösungsweg, auf den es ja schliesslich ankommt, Newton dauert zu lange und ist nur bei Aufgaben nötig, die entweder bewusst "fies" oder ausversehen verschusselt gestellt sind - üblicherweise geht das gut auf bei schulischen Aufgabenstellungen.

Eine Wertetabelle kann bei Nullstellen, die ein Stück weit vom Ursprung entfernt liegen, etwas ewig dauern und stellt die zielloseste Form des Probierens dar und ist kein Lösungsverfahren im mathematischen Sinne.

Der korrekte Weg:

Zum "Probieren" nimmt man gezielt die Teiler des absoluten Gliedes - hier also $$\pm 1;\pm 2; \pm3; \pm5; \pm 6; \pm 10; \pm 15; \pm 30$$

fängt mit den kleinsten an und notiert die Ergebnisse. Sobald man eine Lösung gefunden hat, hört man auf zu probieren und macht mit dem gefundenen Linearfaktor eine Polynomdivision.

Answer 4

f(x)= - x4 + x³ + 19x² + 11x - 30 Welche verschiedenen Verfahren kann man verwenden um von dieser Funktion die Nullstellen zu berechnen?

Ich habe bereits die Nullstelle x=1 erraten und probiert die Polynomdivision anzuwenden, allerdings kam dabei eine Rest 2 heraus.

Dann kontrolliere mal:

( - x4 + x³ + 19x² + 11x - 30 ) : ( x - 1 ) = - x^3  + 19x  + 30

- x^4 + x^3

--------------

               0 + 19x^2 + 11x

                      19x^2 - 19x
                --------------------
                                    30x - 30
                                    30x - 30
                                   ------------
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