Integral Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse im ersten Quadranten ist 6.

Question

Die Parabel p: y= ax-x³ schliesst im 1. Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von Inhalt A=9 ein. Berechne a und skizziere die Parabel.

Lösung: a=6

Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt diese Aufgabe verständlich erklären?

Viele Dank!

Comments

Die Parabel p: y= ax-x³ schliesst im 1. Quadranten mit der
x-Achse eine Fläche von Inhalt A=9 ein. Berechne a und skizziere die Parabel.

Nullstellen
a * x - x^3 = 0
x * ( a - x^2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt.
x = 0
und
a - x^2 = 0
x^2 = a
x = + √ a
Plus weil im 1.Quadranten
( 0 | 0 ) ( √ a | 0 )

Stammfunktion
∫ a * x - x^3 dx
a * x^2 / 2 - x^4 / 4

Fläche
[ a / 2 * x^2 - x^4 / 4 ] 0  √ a

a * / 2 * ( √ a )^2 - ( √ a )^4 / 4 - ( a * 0^2 - 0^4 / 4 )
a * a / 2 - a^2 / 4
1/4 * a^2  = 9
a = 6

~plot~ 6 * x - x^3 ~plot~

---

Wenn x = 0 und a - x² = 0 ist, dann ist a = 0.

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Du hast den Satz vom Nullprodukt noch nicht drauf.

x * ( a - x² ) = 0
Satz vom Nullprodukt.
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Daraus folgt
x = 0
und
a - x² = 0
x² = a
x = ± √ a

Siehe die Nullstellen in der Grafik für a = 6

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Offenbar bist du derjenige, der besagten Satz nicht drauf hat.

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Bitte einmal eine sachliche Begründung deines letzten Kommentars.

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Richtig ist: Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Nicht richtig ist: Daraus folgt x = 0 und a - x² = 0.

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Störst du dich jetzt an dem Wörtchen " und " ?

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\(\)Nein\(\).

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Was soll ich mit dem genialen " nein " eigentlich anfangen ?
Könntest du endlich einmal mitteilen was du überhaupt
sagen willst ?
Wir haben jetzt 7 Kommentare hinter uns und ich weiß immer
noch nicht was du bei  mir kritisierst.

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Sei x=0 und a=1. Dann ist x*(a-x²)=0*(1-0) =0 ohne dass a-x²=0 gelten würde.

Ich finde es sehr seltsam, dass hier scheinbar jemand mit einer anderen Meinung als Spammer (man sieht Spam-Markierungen) abgetan wird.

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Ich weiß auch nicht genau, was hier das Problem ist. Die Antwort ist soweit korrekt. Wenn du es ganz genau nehmen möchtest, dann lauten die Lösungen von x*y=0 "x=0 ODER y=0" und eine Parabel ist nach meinem Wissen eine Funktion zweiten Grades. Aber das sind nur Kleinigkeiten. Wie gesagt, die Antwort - vor allem die Anwendung und Interpretation des Nullprodukts - ist korrekt.

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Also störst du dich doch an dem " und ".

Wie ist deine Meinung. :

( x + 2 ) * ( x -2 ) * ( x + 4 ) = 0

Die Lösungen für x sind  : ( x = -2 ) und ( x = 2 ) und  ( x = -4 )
Dies wäre eine Antwort im Alltagsdeutsch.

Falls du auf volle akademische Strenge Wert legst dann ersetze einfach

Die Lösungen für x sind  : ( x = -2 ) oder ( x = 2 ) oder ( x = -4 )

Im Übrigen ist bei dir ein sprachlicher Fehler vorhanden

Ich finde es sehr seltsam, dass hier  scheinbar jemand mit einer anderen
Meinung als Spammer (man sieht Spam-Markierungen) abgetan wird.

Es muß heißen

Ich finde es sehr seltsam, dass hier anscheinend  jemand mit einer anderen
Meinung als Spammer (man sieht Spam-Markierungen) abgetan wird.

Du wirst nicht scheinbar als Spammer abgetan sondern anscheinend.

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Ich bin nichtderjenige der gestern gepostet hat-  ich habe das auch nicht behauptet.

Danke für die Deutsch-Lektion.

ETA:

Genausowenig ist übrigens erichtlich, dass die gestrige Diskussion zwischen einem User und dem User georgborn war (was wolh der Fall ist?) da alle User als Gast angegeben werden.

Und ein Lob an den Mod(?) der die Spammarkierungen entfernt hat.

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Um die Angelegenheit nochmals auf den Punkt zu bringen.
1. georgborn ( ich ) habe hier die Antworten gegeben.

Ich schreibe meine Antworten für den Fragesteller und
auf dessen vermuteten Kenntnisstand.
Ich hoffe der Fragesteller war mit meiner Antwort zufrieden.

Es gibt nun einige Mitleser die als ( vermeintlichen ) Fehlerhinweis
einen genialen Einzeiler hier einstellen, das meist noch ohne
jegliche Begründung  und dann erwarten das man Ihnen Ihre Weisheiten 
auch noch scheibchenweise aus der Nase zieht.
Dazu habe ich keine Lust..

Wenn schon ein ( vermeintlicher ) Fehlerhinweis eingestellt wird dann
bitte direkt mit Begründung.
Oder noch besser :
direkt eine eigene vorbildliche Antwort hier einstellen.

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Du und Yukawah  ( Wie gesagt, die Antwort - vor allem die Anwendung und Interpretation des Nullprodukts - ist korrekt. )   irrt euch, Gast hingegen hat ganz genau auf den Fehler hingewiesen.

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hj2155: Egal, wer sich irrt. Wenn du es besser weisst, erkläre es bitte so, dass viele potentielle Leser und zumindest der Fragesteller verstehen, was du meinst. 

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Das Problem ist, dass georgborn und Yukawah das Prinzip einer Wenn-Dann - Implikation nicht verstanden haben.

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Ich kann es gern nochmal erklären, aber nun auch zum letzten mal. Bei

x * ( a - x²) = 0

gilt x=0 ODER a-x² = 0, nicht "und".

Wenn uns "Gast" also auf unseren angeblichen Fehler hinweist und meint

"Sei x=0 und a=1. Dann ist x*(a-x²)=0*(1-0) =0 ohne dass a-x²=0 gelten würde."

macht seine Aussage keinen Sinn. Er setzt x=0, dann gilt i.A. nicht a-x²=0. Somit liegt kein Widerspruch vor.

Wie gesagt, ich hoffe ich konnte einigen helfen, aber nun bin ich hier raus.

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1.) Beim Satz vom Nullprodukt gilt die " oder " Verknüpfung.

0 * 0 = 0
0 * c = 0
c * 0 = 0
c * c = irgendwas ≠ 0

Dies ist die " oder " Verknüpfung.
So far so good.

2.) Ich habe mir meine 1.Antwort  noch einmal angeschaut.
Gesucht waren die Nullstellen einer Funktion.

Die Parabel p: y= ax-x³ schliesst im 1. Quadranten mit der
x-Achse eine Fläche von Inhalt A=9 ein.

Meine Antwort

Nullstellen
a * x - x³ = 0
x * ( a - x² ) = 0
Satz vom Nullprodukt.
x = 0
und
a - x² = 0
x² = a
x = + √ a
Plus weil im 1.Quadranten
( 0 | 0 ) ( √ a | 0 ) 

Ich habe mir die Langversion von Satz vom Nullprodukt. und damit
Schreibarbeit erspart weil aus dem Zusammenhang klar sein sollte
was gemeint ist

Nullstellen
a * x - x³ = 0
x * ( a - x² ) = 0
Wende ich den Satz vom Nullprodukt  zur Ermittlung der
Nullstellen an so ergeben sich 2 Nullstellen
x = 0
und
a - x² = 0
x² = a
x = + √ a
Plus weil im 1.Quadranten
( 0 | 0 ) ( √ a | 0 )

und habe die beiden Nullstellen sogar noch angeführt.
Ich finde ich habe das alles ganz gut formuliert.

Damit ist die Sache für mich auch beendet.

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Mit diesen beiden Beiträgen wird meine Analyse dann ja aufs Allerschönste bestätigt.

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Offensichtlich ist die Kernaussage 2.) meines letzten Beitrags
zu dir nicht durchgedrungen.

Gesucht waren die Nullstellen einer Funktion.

Wende ich den Satz vom Nullprodukt  zur Ermittlung der
Nullstellen an so ergeben sich 2 Nullstellen

( 0 | 0 ) und ( √ a | 0 )

Somit sind die Sätze

x = 0
und
a - x² = 0
....

auch richtig formuliert.

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Wende ich den Satz vom Nullprodukt  zur Ermittlung der
Nullstellen an so ergeben sich 2 Nullstellen

Sie ergeben sich eben nicht aus der von dir zitierten Form des Satzes - wann begreifst du das endlich

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Entweder ich bin blöd oder du.
Was meinst du eigentlich ?
Wo ist bei mir irgendein Fehler ?
Warum bekomme ich richtige Ergebnisse heraus ?
Warum gelingt es dir nicht mir meinen ( vermeintlichen ) Fehler klar zu machen ?

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Entweder ich bin blöd oder du.

Ich weiß, wer es ist.

Warum bekomme ich richtige Ergebnisse heraus ?

Weil der inzwischen so oft erwähnte Satz in Wirklichkeit eine Äquivalenz ausdrückt.

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Wie du dir schon vorher denken konntest
kann mit deinem elitären Geschwafel nichts anfangen.

Ansonsten, wie dir schon häufiger gesagt gehe doch der
Einfachheit halber in den nächsten Wald und zeig den
dortigen Bäumen deine Überlegenheit.

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@hj2133

Ich habe meinen Lösungsweg einmal unter

https://www.mathelounge.de/265850/nullstellen-der-funktion-f-x-a-x-x-3-bestimmen

eingestellt.

Die Antwortgeber konnten keinen Fehler bei mir feststellen.

Was meinst du dazu ?

Bitte nicht wieder kommentarlos einen Strang abbrechen.

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Den Aufwand hättest du dir sparen können, da ich in meinem letzten Kommentar bereits die Richtigkeit der Nullstellen bestätigt habe und auch den Grund dafür angegeben habe, warum der Rechenweg so funktioniert.

Answer 1

Nullstellen ax-x³    = 0 

x ( a - x^2 ) = 0

gibt x = 0 oder  a - x^2 = 0

x=0  oder x = wurzel(a)   oder x = - wurzel(a)

Weil im 1. Quadranten ist also die Fläche über dem Bereich

von o bis wurzel(a) gemeint. Berechnung mit

Integral von 0 bis wurezl(a) über  ax-x³    dx

Stammfkt ist ax^2 / 2 - x^4 / 4

Einsetzen der Grenzen gibt als Integral a^2 / 4

Fläche = 9 gibt    a^2 / 4 = 9

a^2 = 36

a = 6 weil a positiv sein muss.

~plot~6x-x^3~plot~

Comments

Danke das hat mir sehr  weitergeholfen.

Wie kommt man aber zu diesem Schritt: Einsetzen der Grenzen gibt als Integral a^2 / 4?

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Stammfkt ist ax² / 2 - x⁴ / 4  und du hast ja Integral von 0 bis wurzel(a).

Also erst wurzel a einsetzen und davon das mit 0 einsetzte subtrahieren

[ a * wurzel(a)^2 / 2  - (wurzel(a)^4 / 4 ] -   [ a*0^2 / 2 - 0^4 / 4 ]

= [ a*a / 2  -  a^2 / 4 ]  -    0

= a^2 / 2 - a^2 / 4  =   a^2 / 4