Question

Wenn der cos von Alpha 4/5 ist, was ist dann der sin von Alpha? 3/5, aber warum?

Answer 1

SIN(x) = G / H --> G = H * SIN(x)

COS(x) = A / H --> A = H * COS(x)

Nun gilt ja

A^2 + G^2 = H^2

(H * COS(x))^2 + (H * SIN(x))^2 = H^2

H^2 * COS(x)^2 + H^2 * SIN(x)^2 = H^2

COS(x)^2 + SIN(x)^2 = 1

SIN(x)^2 = 1 - COS(x)^2

SIN(x) = √(1 - COS(x)^2)

SIN(x) = √(1 - (4/5)^2) = √(1 - 16/25) = √(25/25 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

Comments

Ich habe mir erlaubt die Antwort noch etwas zu optimieren, damit man die Zusammenhänge noch besser erkennt.

Answer 2

[sin(α)]² + [cos(α)]² = 1

-> sin(α) = ± √ [ 1 - cos²(α) ] = ± √ [ 1 - (4/5)² ] = ± √ [ 9/25] = ± 3/5

Für 0°≤ α ≤ 90° -> sin(α) = 3/5

Answer 3

Wegen 3²+4²=5² ist ein Dreieck mit Seitenlängen 3,4,5 rechtwinklig mit Hypotenuse der Länge 5. Für den Winkel \( \alpha \) zwischen Hypotenuse und der Seite der Länge 4 gilt \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \). Die Gegenkatete dieses Winkels hat die Länge 3, also \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \).