Mengenlehre ; Beweis das B=C ist

Question

ich stehe hier vor einer Aufgabe und komme einfach nicht auf die Lösung die man mithilfe einer "Gleichung" widerlegen soll.

Es seien Mengen A, B und C gegeben mit der Eigenschaft

A∪B = A∪C  und A∩B = A∩C

Folgern Sie B=C

also, ich habe mir zuerst mal aufgeschrieben was das alles überhaupt erst mal bedeutet:

A∪B = {x|x∈A ∧ x∈B}

A∪C = {x|x∈A ∧ x∈C}

A∩B = {x|x∈A ∨ x∈B}

A∩C = {x|x∈A ∨ x∈C}

Jetzt hänge ich komplett und weiß nicht wie ich beweisen soll das B=C ist.

Danke schonmal für jede Hilfe.

Answer 1

In deinen Definitionen hast

du ∩ und ∪ genau vertauscht !!!

Du musst ja zeigen: wenn x aus B dann auch x aus C

und wenn x aus C dann auch x aus B

also etwa so:

wenn x aus B dann ist  

x aus A∪B und wegen der Gleichheit auch

x aus A∪C

Nun zwei fälle betrachten:

1. Fall x nicht aus A  dann ist wegen  x aus A∪C

jedenfalls   x aus C   .  ENDE!

2. Fall x aus A  dann ist x aus  A∩B

und wegen der Gleichheit x aus A∩C

also insbesondere aus C.  ENDE!

Also hast du gezeigt:  wenn x aus B dann auch x aus C

jetzt das umgekehrte .....