Stetigkeit an den Anschlussstellen berechnen. Abschnittweise definierte Funktionen.

Question

Ich habe als Hausaufgabe Aufgabe 7 aufbekommen und verstehe garnix. Kann mir jemand vielleicht Aufgabe b oder E vorrechnen? Dann probier ich es selbst. Die stetigkeit sollen wir anhand der 3 Bestimmungen prüfen. 1. f (x0) besteht/ 2. lim f (x) existiert / lim x->x0 f (x) = f (x0)

Ich weiß auch nicht genau was sie bedeuten.

Ach ja und eine Skizze sollen wir erstmal nicht zeichnen. Wäre aber nett (nicht zwibgend) wenn sie jemand anzeigen würde.

Answer 1

7b)

Die Anschlussstellen sind 0 und 1

Für die Anschlussstelle x=0:

f(0) = -1 - 0 = -1

für x -> 0 von links ergibt sich der linksseitige Grenzwert  -1 - 0 = -1

ür x -> 0 von rechts  ergibt sich der rechtsseitige Grenzwert  0² -1 = -1

Beide einseitigen Grenzwerte stimmen überein

->    der Grenzwert für x->0 ist -1 = f(0)

-> f ist in x=0 stetig

.....

Answer 2

stetig heißt anschaulich ja:  Bei a) zum Beispiel

Die beiden Teile stoßen ohne Sprung aneinander.

~plot~(x<2)*x+(x>2)*(4-x)~plot~

Und wie du siehst, stoßen die beiden Stücke passend aneinander.

bei d)  siehst du, dass die beiden Teile nicht bei 0 zusammenstoßen,

also ist f dort nicht stetig.

~plot~(x>0)*(sqrt(x)/x); (x<0)*1~plot~

Comments

Wie erkennt man denn rechnerisch ob die Funktion stetig ist?

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Und könntest du mir auch erklären wie ich den Graph zeichnen soll? Wir müssen den Graph nun doch nur zeichnen und es nicht rechnerisch machen. Bei a) z.B weiß ich nicht wie du auf diese Funktion kommst.

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Bei a) hats du ja zwei Funktionen, einmal

f(x) = x     und g(x) = 4 - x

Wenn du die einzeln  zeichnest, gibt es je eine Gerade.

Die eine gilt aber nur für x≤1 und die andere für x>1.

Also sind es zwei Halbgeraden, die bei x=1

zusammenkommen.

Und zwar enden sie beide im gleichen Punkt. Wären die

Endpunkte verschieden, so wäre es dort nicht stetig.