Stetigkeit ohne Vorgabe für eine Stelle x= ...?

Question

ü

bis jetzt musste ich immer nur Aufgabentypen wie zum Beispiel:

Untersuchen Sie die Funktion an der Stelle x= 2

berechen. Das hat eigentlich auch gut geklappt.

Bei folgender Aufgabe bin ich jedoch etwas ratlos , da ich hier auf Stetigkeit bzw. unstetigkeit ohne einen bestimmten Punkt untersuchen soll.

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie das Funktioniert.

Die Musterlösung ist: für x=1 stetig

Und wegen der Schreibweise hab ich noch eine Frage:

hab ich das richtig verstanden das es sich um 2 Gleichungen handelt, welche für x>1 bzw. x<1 (in diesem Beispiel) definiert sind?

Danke für die Hilfe.

Comments

Es ist auch:

(Folge) (x_n) = 1 - (1/n)  für n→∞ gegen 1

lim n →∞ f(1 - (1/n)) = 1 ≠ f (lim n→∞ (1 - (1/n)) = f(1)

Answer 1

Zur Schreibweise:

Es handelt sich um eine "stückweise" definierte Funktion. Solange x < 1 ist y immer 1. D.h. der Graph beginnt links mit einer horizontalen Halbgeraden. die praktisch bis x=1 geht. Im Endpunkt dieser Halbgeraden kennst du im Moment den Funktionswert noch nicht. Mache dort ein Ringlein mit einem Loch also ungefähr so was: °

Dann geht der Graph mit Punkten gemäss der zweiten Zeile weiter. Also mit y = x+1 . Das gibt auch eine Halbgerade, die aber die Steigung 1 hat. Ihr Anfangspunkt gehört zum Graphen. Das kannst du mit einem ^x kennzeichnen.

Nun siehst du bereits im Bild, dass die Funktion bei x=1 einen Sprung macht. Allenfalls sollst du das nun mit einer Rechnung noch hinschreiben.

f(2) = 2

aber lim_(x->1- ) f(x) = 1 ≠ 2.

==> Funktion ist an der Stelle x=1 unstetig. Das genügt, um zu sagen, dass die Funktion unstetig ist.

Die beiden Halbgeraden weisen im Innern selbstverständlich keine Unstetigkeitsstellen auf. Das musst du erwähnen, wenn du bei einer ähnlichen Frage auf Stetigkeit entscheiden möchtest.

Answer 2

Ja. Das ist eine abschnittsweise definierte Funktion.

Du untersuchst die Grenzwerte der Funktionen an der Verbindungsstelle.

Hier ist der Grenzwert einmal 2 und einmal 1 und damit gibt es einen Sprung und die Funktion ist nicht stetig. Zeichne dir die gegebene Funktion auch mal auf.