Vektoren Abstandsaufgabe: Gerade und Punkt S

Question

Guten Nachmittag,
frische gerade nochmal meine Vektoren Kenntnisse für das Vorabi auf.
Komme jedoch bei einer Teil Aufgabe nicht weiter:
Untersuche, ob es einen Punkt auf der Geraden AB gibt, der von dem Punkt S den Abstand 7 hat.

Gerade AB: (8/0/0)+r*(0/8/0)

Ich möchte am liebsten keine Lösung sondern lediglich einen Tipp wie ich vorgehen muss :)
Ich denke ich muss was mit dem Lotfußpunktverfahren machen, weiß es aber nicht genau.

Christian

EDIT(Kopie aus Kommentar).

Korrigierte Version:

Untersuche, ob es einen Punkt auf der Geraden AB gibt, der von dem Punkt S den Abstand 7 hat.  

Gerade AB: (8/0/0)+r*(0/8/0)  
S(2/6/4) 
Ich möchte am liebsten keine Lösung sondern lediglich einen Tipp wie ich vorgehen muss :)  
Ich denke ich muss was mit dem Lotfußpunktverfahren machen, weiß es aber nicht genau.

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frische gerade nochmal meine Vektoren Kenntnisse für das Vorabi auf. 
Komme jedoch bei einer Teil Aufgabe nicht weiter: 
Untersuche, ob es einen Punkt auf der Geraden AB gibt, der von dem Punkt S den Abstand 7 hat. 

Gerade AB: (8/0/0)+r*(0/8/0) 
S(2/6/4)
Ich möchte am liebsten keine Lösung sondern lediglich einen Tipp wie ich vorgehen muss :) 
Ich denke ich muss was mit dem Lotfußpunktverfahren machen, weiß es aber nicht genau.

 
Christian

PS: Hatte schon eine Ähnliche Frage gestellt aber habe nicht S angegeben. Deswegen versuche ich nochmals mein Glück :)

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Hallo Christian,

Tipp (1): Alle Punkte \(\vec{x}\), die von \(S\) den Abstand 7 haben, erfüllen die Gleichung \((\vec{x}-S)^2=7^2\). Setze dort für \(\vec{x}\) die Gerade ein, gibt eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten \(r\). Prüfe die Determinante, ob eine Lösung existiert.

Tipp (2): Berechne den Abstand von \(S\) zu \(AB\). Ist er \(<=7\), so existiert mindestens ein Punkt auf der Geraden mit dem Abstand 7.

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Vielen Dank,
hab es verstanden.

Wünsche dir noch einen schönen rest Sonntag :)

Answer 1

Eigentlich nur Abstand von 2 Punkten berechnen und gleich 7 setzen.

Der Ansatz sieht also wie folgt aus:

([8, 0, 0] + r·[0, 8, 0] - S)^2 = 7^2

Comments

Mir fällt gerade auf das ich eine ziemlich wesentliche Sache vergessen habe.
Punkt S habe ich gegeben: S(2/6/4).
Sorry mein Fehler tut mir echt leid :/

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Am Ansatz ändert sich nichts egal wie auch immer die Koordinaten von S aussehen. Also jetzt eingesetzt

([8, 0, 0] + r·[0, 8, 0] - [2, 6, 4])^2 = 7^2 --> keine Lösung für r.

Damit gibt es keinen Punkt mit dem Abstand 7. 

Berechne mal den Abstand von S zur Geraden. Der sollte jetzt über 7 liegen.

d = ABS(([2, 6, 4] - [8, 0, 0]) ⨯ [0, 8, 0])/ABS([0, 8, 0]) = 7.211 LE

Der minimale Abstand ist also ca. 7.211. Damit ist klar das kein Punkt den Abstand 7 haben kann.