X stelle von Tangente

Question

Aufgabe: Bestimmen sie rechnerisch die Stelle X, an der die Graphen Gf und Gg parallel verlaufene, monoton steigende Tangenten besitzen.

Gegeben :

gegeben: f(x)={0,5x^3−2x+5 für x≤2
                  und −x^2+8x−7 für x>2

(sorry weis nicht wie ich es schaffe beide Funktionen in die Klammer zuschreiben)

g(x)=3/8x^2−3/2x+1/2


Ich weiß, dass m gleich sein muss sowie n unterschiedlich

auch das die erste Ableitung m ist aber ich finde nicht mal den Anfang

Answer 1

Nun, an der gesuchten Stelle x muss gelten:

f ' ( x ) = g ' ( x ) und f ( x ) ≠ g ( x )

also

Für x ≤ 2 :

f ( x ) = g ( x )

<=> 0,5 x ³− 2 x + 5 = ( 3 / 8 ) x ² − ( 3 / 2 ) x + ( 1 / 2 )

<=> ...

<=> x = - 2

Also: Nur an der Stelle x = - 2 haben f ( x ) und g ( x ) den gleichen Funktionswert. Diese Stelle darf daher nicht als Lösung auftreten, da sonst die Tangenten identisch wären. Alle anderen Stellen können Lösungsstellen sein.

Wie man feststellt, gilt jedoch f ' ( - 2 ) ≠ g ' ( - 2 ) sodass sich die Stelle x = - 2 ohnehin nicht als Lösungskandidat ergeben kann, wenn man f ' ( x ) = g ' ( x ) berechnet.

Für x > 2 :

f ( x ) = g ( x )

<=> − x ² + 8 x − 7 = ( 3 / 8 ) x ² − ( 3 / 2 ) x + ( 1 / 2 )

<=> ...

<=> x = 6

Also: Nur an der Stelle x = 6 haben f ( x ) und g ( x ) den gleichen Funktionswert. Diese Stelle darf daher nicht als Lösung auftreten, da sonst die Tangenten identisch wären. Alle anderen Stellen können Lösungsstellen sein.

Wie man feststellt, gilt jedoch f ' ( 6 ) ≠ g ' ( 6 ) sodass sich die Stelle x = 6 ohnehin nicht als Lösungskandidat ergeben kann, wenn man f ' ( x ) = g ' ( x ) berechnet.

 

Nun zur Berechnung der Stellen, an denen f  ( x ) und g ( x ) die gleiche Steigung haben: 

Für x ≤ 2 :

f ' ( x ) = g ' ( x )

<=> 1,5 x ² - 2 = ( 3 / 4 ) x - ( 3 / 2 )

<=> 1,5 x ² - 0,75 x = 0,5

<=> x ² - ( 1 / 2 ) x = 1 / 3

<=> x ² - ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 4 ) ² = ( 1 / 3 ) + ( 1 / 4 ) ² = 19 / 48

<=> ( x - ( 1 / 4 ) ) ² = 19 / 48

<=>  x - ( 1 / 4 )  = ± √ ( 19 / 48 )

<=>  x = ( 1 / 4 ) ± √ ( 19 / 48 )

<=> x ≈ -0,37915 oder x ≈ 0,87915

Also: An den Stellen ( 1 / 4 ) ± √ ( 19 / 48 ) haben f ( x ) und g ( x ) parallele, aber nicht identische Tangenten. Allerdings haben diese eine negative Steigung (Einsetzen von x in f ' ( x ) oder g ' ( x ) ) und sind daher keine Lösung der gestellten Aufgabe.

 

Für x > 2 :

- 2 x + 8 = ( 3 / 4 ) x - ( 3 / 2 )

<=> 11 / 4 x = 19 / 2

<=> x = ( 38 / 4 ) / ( 11 / 4 ) = 38 / 11 ≈ 3,455

Prüfen, ob die Steigung positiv ist:

f ' ( 38 / 11 ) = - 2 ( 38 / 11 ) + 8 = - ( 76 / 11 ) + ( 88 / 11 ) = 12 / 11

Die Steigung von f und g an der Stelle x = 38 / 11 sind also gleich und positiv.
Somit ist x = 38 / 11 die gesuchte Stelle

Answer 2

gegeben: f(x)={0,5x³−2x+5 für x≤2
                  und −x²+8x−7 für x>2

g(x)=3/8x²−3/2x+1/2

Ich vermute es wird die Stelle x gesucht an der die Funktionen
die gleiche Steigung haben und somit parallel verlaufen.

Steigung = 1.Ableitung

gegeben:

f ´ ( x ) = 1.5 * x^2 - 2  x≤2
f ´ ( x ) = -2 * x + 8    für x>2

g ´ ( x ) = 3/4 * x −3/2

Steigung ist gleich an der Stelle für x ≤ 2
1.5 * x^2 - 2  =  3/4 * x −3/2
1.5 * x^2 - 3/4 * x = -3/2 + 2
1.5 * x^2 - 3/4 * x = 1/2  | quadratische Ergänzung oder pq-Formel
x^2 - 1/2 * x = 1 /3
x^2 - 1/2 * x + ( 1/4)^2 = 1/3 + 1/16
( x - 1/4)^2 ) = 0.3958
x - 1/4 = ±√ (0.3958)
x = ± 0.629 + 1/4
x = 0.879
x = -0.379
Beide Ergebnisse liegen im Bereich x ≤ 2.
Die Steigung beträgt
f ´ ( 0.879 ) = 1.5 * (0.879)^2 - 2 
f ´ ( 0.879 ) = -0.841
Die Steigung ist fallend und entspricht nicht dem in der
Aufgabenstellung gefordertem positiven Wert.
f ´ ( -0.379 ) = 1.5 * (-0.379)^2 - 2 
f ´ ( -0.379 ) = -1.785
Die Steigung ist fallend und entspricht nicht dem in der
Aufgabenstellung gefordertem positiven Wert.

Steigung ist gleich an der Stelle für x > 2
-2 * x + 8  = 3/4 * x −3/2
-2 * x - 3/4 * x = -3/2 - 8
-2.75 * x = -9.5
x = 3.455
Das Ergebnis liegt im Bereich x > 2
f ´ ( 3.455 ) = -2 * 3.455 + 8    für x>2
f ´( 3.455 ) = 1.09
Die Steigung ist positiv und entspricht dem in der
Aufgabenstellung gefordertem positiven Wert.

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mfg Georg