Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von x^2 / (x(x+1)) und (x^5 +1) / (x^4 + x^2)

Question

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

$$\frac { x ^ { 2 } } { x ( x + 1 ) } \quad \text { und } \quad \frac { x ^ { 5 } + 1 } { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } }$$

Answer 1

Beim Ersten kannst du kürzen.

x² / (x(x+1)) = x / (x+1)              (x≠0, x≠-1)

mehr kannst du da mE nicht tun.

(x⁵                             +1) / (x⁴ + x²)  = x  Rest (1-x^3)

-(x^5 + x^3)
-------------------

-x^3 + 1       Rest

 

(x⁵                             +1) / (x⁴ + x²)  = x  + (1 -x^3)/(x^2(1+x^2))

 (1 -x^3)/(x^2(1+x^2)) zerlegen

 (1 -x^3)/(x^2(1+x^2)) = (Ax+B)/x^2  + (Cx+D) / (1+x^2)          

             |*Hauptnenner

1-x^3 = (Ax + B)(1+x^2) + (Cx+D)(x^2)

1 - x^3 = Ax +Ax^3 +B + Bx^2 + Cx^3 + D x^2

Koeffizientenvergleich

1=B

A=0

C = -1

einsetzen

1 - x^3 =  1 + x^2 - x^3 + D x^2

Vergleichen ------

D=-1 

(x⁵                             +1) / (x⁴ + x²)  = x  + (1 -x^3)/(x^2(1+x^2))

= x + (Ax+B)/x^2  + (Cx+D) / (1+x^2) 

 = x + 1/x^2  + (-x-1)/(1+x^2) 

Comments

Beim Ersten kannst du kürzen.

x^2 / (x(x+1)) = x / (x+1)              (x ≠ 0, x ≠ -1)

mehr kannst du da mE nicht tun.

 

Zumindest zum Zwecke des späteren Integrierens wäre

x^2 / (x*(x+1))  =  x / (x+1)  =  (x+1−1) / (x+1)  =  1−1/(x+1)

sicher sinnvoll.

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Ok.Klar. Danke für die Ergänzung!