Schnittpunkt finden von f(x)=x^3 + 3x^2 + 2,25x und g(x)= 2,25x

Question

Ich habe hier zwei Gleichungen f(x)=x^3 + 3x^2 + 2,25x und g(x)= 2,25x

Ich soll den Schnittpunkt berechnen, also muss ich sie gleichsetzen

f(x)=g(x)

Aber da komme ich nicht mehr weiter, weil ich irgendwie einen Blackout oder so habe. Ich muss jetzt das 2,25x von g(x) auf die andere Seite bringen oder? Dann habe ich aug der rechten Seite 0 und auf der linken Seite verschwindet das 2,25x. Was dann? Ich komme nicht mehr weiter, weil ich jetzt x^3 + 3x^2 habe?

Hilfe!

Answer 1

x³ + 3x² + 2,25x = 2,25x|-2 .225x

x³ + 3x²  =0

Ausklammern der höchsten Potenz :

x^2(x +3)=0

Satz vom Nullprodukt:

------>

x_1,2=0

x_3=-3

Die Werte noch in die Gleichung einsetzen, zur Ermittlung der y- Werte.

Comments

Mag sein, dass das jetzt ziemlich verblödet rüberkommt, aber was ist genau damit gemeint BEIDE Werte in einer gleichung einzusetzen? Ich nehme als beispiel g(x)=2,25x , d.h. g(x)=2,25*(-3) und g(x)=2,25*0 ?

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genau, so ist es.

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Und was genau ist dann der Schnittpunkt? Einmal S(0/0) und S(-3/-6,75) ? Also zwei Schnittpunkte?

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Genau so ist es. Richtig.

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Okay, vielen lieben Dank. Ihr habt mir echt geholfen.

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Ein Bild sagt mitunter mehr als tausend Worte

~plot~ x^3 + 3 * x^2 + 2.25 * x ; 2.25 * x ~plot~

Wobei noch anzumerken wäre das bei x = 0
ein Schnitt- / Berührpunkt ist.

Gesucht ist die Fläche x = -3 bis x = 0

Answer 2

Hi,

$$f(x)=g(x)$$

$$x^3+3x^2+2,25x=2,25x \quad | \ -2,25x$$

$$x^3+3x^2=0 \ .$$

Ausklammern:

$$x^2 \cdot (x+3)=0 \ .$$

Ein Produkt ergibt Null, wenn mind. einer der Faktoren Null ist, also:

$$x_1 = 0$$

$$x+3=0 \quad | \ -3$$

$$ \Rightarrow \quad x_2 = -3 \ .$$

Beide Punkte jetzt noch in eine der beiden Funktionen einsetzen, um den jeweiligen y-Wert zu berechnen.

Comments

Danke, aber ich verstehe nicht ganz was mit BEIDEN Punkten in einer gleichung z.b. g(x) einsetzten, gemeint ist. Wenn man in g(x) 0 einsetzt, kommt für y=0 raus. Und was ich noch nicht verstehe, wenn (-3) für beide Gleichungen einsetze, kommen zwei y- Werte heraus. Was ist dann den S? Also welcher y-Wert?

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Durch das Gleichsetzen erhalten wir die Stellen (x-Werte), an denen sich unsere Graphen schneiden. Wir haben zwei unterschiedliche Werte erhalten, also schneiden sie sich zweimal. Nun wollen wir die y-Werte an beiden Stellen wissen, damit wir unsere SchnittPUNKTE erhalten. Dafür setzen wir die beiden x-Werte in eine beliebige Funktion ein (beliebig, weil beide ja denselben y-Werte ausgeben, da es ja Schnittpunkte sind):
$$g(x_1) = 2,25 \cdot 0 = 0$$ $$g(x_2) = 2,25 \cdot (-3) = -6,75 \ . $$
Damit sind unsere beiden Schnittpunkt (0|0) und (-3|-6,75).
Falls du noch Fragen hast, kannst du diese gern stellen. Ich habe deinen Kommentar auch nicht zu 100% verstanden.
Wenn du -3 in f statt in g einsetzt, kommt wie bereits gesagt dasselbe raus. Muss ja, weil beide Funktionen an dieser Stelle denselben y-Wert haben:
$$f(-3)= (-3)^3+3 \cdot (-3)^2+2,25 \cdot (-3)$$ $$ = -27+27-6,75$$ $$ = -6,75 \ . $$

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Okay , vielen vielen Dank. Du hast mir echt geholfen. Was ich vorhin gemeint habe, ist dass, als ich -3 in f(x) eingesetzt habe, hat der Taschenrechner als y-Wert -60,75 angezeigt, deswegen war ich verwirrt. War wohl aber ein Tippfehler. Danke nochmals.

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Gern geschehen. :P

Einige machen den Fehler, dass sie z.B.

$$-3^2$$

statt

$$(-3)^2$$

eingeben. Das erste ergibt -9 und das zweite das Richtige (9). Von daher immer schön Klammern setzen. ;)

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Ach ja stimmt, die Klammern. Das erklärt es.

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@Gast: https://www.matheretter.de/wiki/mathefehler Fehler 4 und 5

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@Kai: In dem Link Fehler 4: "So macht es sehr wohl einen Unterschied, ob man von \((-x)^2\) oder von \((-x)^2\) spricht."
Also ich sehe da keinen Unterschied. ;-)

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Vielen Dank für den Hinweis. Soeben korrigiert.