ganzrationale Funktion aufstellen

Question

Eine ganzrationale Funktion 3 Grades hat die aufgeführten Eigenschaften.

Wendepunkt ist im Ursprung
P (1;3) ist Punkt von f

die Fläche A zwischen dem Graphen und der x-Achse über dem Intervall [0;1] hat den Inhalt 3.

Meine Ideen:

f(x)= ax^3 +bx^2 +cx + d
f´(x)= 3ax^2 + 2bx + c
f´´(x)= 6ax + 2b

F(x)= 1/4ax⁴ + 1/3bx³ + 1/2cx²+dx

f(0)=0
f´´(0)=0

weiter komme ich nicht :/

ich habe meherer solcher Aufgaben, aber ich bräuchte nur ein Beispiel, wie man es nun rechnet... den Rest kann ich mir selbst beibringen <3

Comments

Der Ansatz und die beiden Bestimmungsgleichungen lauten:
$$ (0)\quad f(x) = a\cdot x^3 + c\cdot x\\\,\\ (1)\quad f(1) = 3 \\\,\\ (2)\quad \int_{0}^{1} \left|f(x)\right|\text{ d}x = 3 $$Insbesondere bei \((2)\) darf der Betrag nicht ohne Weiteres nach außen gezogen oder gar weggelassen werden, da der Integrand im Integrationsintervall negativ sein könnte. Das ist ein methodisches Problem bei fast allen Antworten zu dieser Frage.

Answer 1

f(x)= ax^3 +bx^2 + cx + d

f´(x)= 3ax² + 2bx + c 
f´´(x)= 6ax + 2b

Wendepunkt ist im Ursprung

f''(0) = 0

f´´(x)= 6ax + 2b --> 2b = 0 --> b=0
P (1;3) ist Punkt von f 

f(1)= a1^3 +b1^2 + c1 + d=3

die Fläche A zwischen dem Graphen und der x-Achse über dem Intervall [0;1] hat den Inhalt 3.

Integral von 0-1 von f(x) = 3

Comments

Da der Wendepunkt im Ursprung ist hat man noch eine Formel mehr den

f(0) = 0

---

und was ist jetzt die Funktion ?

Answer 2

Hier mein Rechenweg

Bei Fragen wieder melden.

Comments

Muss die Lösung eindeutig sein?

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die aufgeführten Eigenschaften.
– Wendepunkt ist im Ursprung. (...)

Aus der blau gefärbten Information folgt bereits die Symmetrie zum Ursprung, weswegen auch der einfachere Ansatz
$$f(x)= ax^3+cx$$möglich wäre. Die Bedingungen \(b=d=0\) würden auch aus deinem

f(0)=0
f´´(0)=0

folgen.

Comments

@jf1188
Aus der blau gefärbten Information folgt bereits die Symmetrie zum Ursprung,
weswegen auch der einfachere Ansatz

f(x)=ax3+cx möglich wäre.

Das ist zwar richtig aber ich denke dies entspricht nicht dem
Kenntnisstand des Fragestellers.

---

Die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (darunter Symmetrien, Transformationen usw.), insbesondere solcher vom Grad 3, werden im Unterricht und auch in den aktuellen Schulbüchern bereits beim Einstieg in die Differentialrechnung ausführlich behandelt und auch später wieder aufgegriffen. Die Aufgabenstellung setzt schon Teile der Integralrechnung als bekannt voraus, meine Antwort wird also den Kenntnisstand, den der Fragesteller bereits erlangt haben sollte sicher nicht überschreiten und außerdem bin ich der Meinung, dass Antworten, die geeignet sind, Kenntnisse ggf. zu erweitern, nicht die schlechtesten sind. Schlussendlich hat der Fragesteller in seinen eigenen Überlegungen schon den Beweis für den von mir angeführten Zusammenhang geliefert. Es ist also mehr als naheliegend, das nun auch zu nutzen.

---

Ich überlasse eine eventuelle Reaktion auf diesen Kommentar dem
Fragesteller.

Answer 4

Eine ganzrationale Funktion 3 Grades hat die aufgeführten Eigenschaften. 

Wendepunkt ist im Ursprung

Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung und es kommen nur ungerade Exponenten in der Funktionsgleichung vor. 

Ansatz: f(x) = ax^3 + bx
P (1;3) ist Punkt von f 

3 = a + b ==> 3-a = b

f(x) = ax^3 + (3-a) x

die Fläche A zwischen dem Graphen und der x-Achse über dem Intervall [0;1] hat den Inhalt 3.

A = ∫_(0)^1  ax^3 + (3-a)x dx = 3

3 = ( a/4 * x^4 + (3-a)/2 x^2 ) |_(0)^1

3 = (a/4   + (3-a)/2) - 0

3 = a/4 + 3/2 - a/2

3/2 = -a/4

-6 = a

Bitte selbst nachrechnen. Mein Resultat ist ohne Gewähr!

f(x) = -6x^3 +9 x

Comments

Zur Eindeutigkeit:

An dieser Stelle:

A = ∫_(0)^1  ax^3 + (3-a)x dx = 3

könnte man auch

-A = ∫_(0)^1  ax^3 + (3-a)x dx = -3

ansetzen.

Da könnte es allenfalls noch eine zweite Lösung geben.

Zeichne beides Lösungen auf und entscheide, was plausibel ist.

---

Hi, es gibt eine zweite Lösung. Interessant ist auch, ob es noch weitere Lösungen geben kann.

---

@ TR

Klar ist

f ( x ) = 6x^3 - 9x

geht auch wenn man die Integralfunktion absolut setzt.

---

Georg: Klar ist f ( x ) = 6x³ - 9x geht auch wenn man die Integralfunktion absolut setzt.

Das geht nicht, da dann \(f(1)\ne 3\) wäre.

---

So, ich könnte noch eine numerische Lösung mit \(a=16.93725\) anbieten. War mir zu aufwändig, das selbst zu berechnen.

---

@jf1188
Das geht nicht, da dann  f(1)≠3 wäre.

Stimmt. Dann belasse ich es bei meiner Lösung.