Logik. Quantoren "für alle", "es gibt"... Bitte meine Formalisierung überprüfen.

Question

Ich Bitte um Überprüfung meiner Formalisierung

Angabe: X sei eine Menge. Formalisieren Sie die folgenden umgangssprachlich formulierten Verknüpfungen der Aussageformen p(x), q(x), r(x) und s(x,y) mit Hilfe von Quantoren, Bilden Sie außerdem die Negation jeder der Aussagen.

a) ,,Für alle Elemente x der Menge X für die p(x) gilt, gilt auch q(x) oder r(x)."

Meine Lösung: (∀x∈X) : p(x) v q(x) v r(x)

Negation: (∃x∈X) : ¬p(x)  Λ ¬q(x) Λ ¬r(x)

b) ,,Für alle x in X gibt es ein y in X, sodass s(x,y) gilt."

Meine Lösung: (∀x∈X)(∃y∈X) : s(x,y)

Negation: (∃x∈X)(∀y∈X) : ¬s(x,y)

c) ,,Falls p(x) nicht für alle x in X falsch ist, so ist q(y) für zumindest ein y∈X wahr."

Meine Lösung: (∃x∈X) : p(x) => q(y) : (∃y∈X)

Negation:  (∀x∈X) : ¬p(x) => ¬q(y):(∀y∈X)

Bitte verbessert meine Lösungen sodass die Antwort korrekt ist. Ich !!!

Comments

Deine erste Aussage ist wahr, wenn für alle x zwar p(x), aber nicht q(x) oder r(x) gilt, was nicht sein soll. Weil du alle mit einem ,,Oder'' verknüpft hast. Ich würde schreiben:
$$(\forall x\in X:p(x)): q(x)\lor r(x)$$
oder
$$\forall x\in X:(p(x)\Rightarrow q(x)\lor r(x)).$$

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Stimmt, da hab ich wohl falsch gelesen.

Meinst du, dass der Rest stimmt? bzw. dass auch die Negationen stimmen?

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Bei c hast du am Schluss die Reihenfolge vertauscht und am Anfang sollte man besser anders klammern:
$$(\exists x\in X: p(x))\Rightarrow \exists y\in X: q(y)$$

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Zur Negation: Am einfachsten ist so etwas, wenn man sich \( a \Rightarrow b \) als \(\neg a \lor b\) schreibt. Dann erhält man aus

$$\neg((\exists x\in X:p(x))\Rightarrow \exists y\in X: q(x)) $$

(unter Auslassung der Zwischenschritte)

$$ \exists x\in X:p(x) \land (\forall y\in X:\neg q(y)).$$

Man kann sich das aber auch so überlegen, wenn man das verbalisiert, aber da ja das Formale geübt werden soll: lieber Schritt für Schritt.

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ich darf aber den Pfeil nicht mit ∧ ersetzen. 

Das bedeutet meine Negationen sind dann alle falsch oder wie? 

ich dachte immer ∀ wird zu ∃ und so weiter .....

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b) ist richtig, und es ist auch richtig, dass \(\exists x\in X:\neg p(x)\) die Negation von \(\forall x\in X:p(x)\) ist. Ich rechne die Neg. bei c) mal vor:

$$ \neg((\exists x\in X:p(x)))\Rightarrow \exists y\in X:q(y)) \\ \neg(\neg(\exists x\in X:p(x)))\lor\exists y\in X:q(y)) \\ \exists x\in X:p(x) \land \neg(\exists y\in X:q(y)) \\ \exists x\in X:p(x) \land (\forall y\in X:\neg q(y)).$$

Dabei habe ich verwendet, dass \(a\Rightarrow b\) äquivalent zu \(\neg a\lor b\) ist und \(\neg (a\lor b)\) zu \(\neg a\land \neg b\). Und \(\neg\neg a=a\).

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Siehe andere Frage: bleib bei der Schreibweise, die ich hier verwendet habe und vergiss die andere erwähnte.

Answer 1

a) ,,Für alle Elemente x der Menge X für die p(x) gilt, gilt auch q(x) oder r(x)."∀x∈X [ p(x) =>  (p(x) ∨ q(x)) ]   Negation: ∃x∈X  ( p(x) ∧  ¬p(x) ∧ ¬q(x) ) 
b) ,,Für alle x in X gibt es ein y in X, sodass s(x,y) gilt."∀x∈X  ∃y∈X  s(x,y)   Negation: ∃x∈X  ∀y∈X  ¬s(x,y)
c) ,,Falls p(x) nicht für alle x in X falsch ist, so ist q(y) für zumindest ein y∈X wahr."
(¬ ∀x∈X ¬p(x)) => ∃y∈X q(y)    Negation:  ∃x∈X ¬p(x) ∧  ∀y∈X ¬q(y))

Comments

Vielen Dank für die genaue Antwort jedoch verstehe ich nicht wie man auf das in c kommt (¬ ∀x∈X ¬p(x)) !!

weil falls p(x) nicht für alle x in X falsch ist, dann muss es doch mindestens ein x in X geben für das p(x) stimmt oder?

Ich kenn mich gar nimmer aus......

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Kleiner Fehler: In c) ist die Negation \((\exists x\in X:p(x))\wedge (\forall y\in X:\neg q(y))\).

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Ich werde immer verwirrter o.O

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OK, dann mal ganz langsam. Wie würdest du die Aussage "\(p(x)\) ist nicht für alle \(x\in X\) falsch" aufschreiben?

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ich würde davon ausgehen dass es für mindestens ein x stimmt

also ∃x∈X : p(x)

aber ich steck noch in Kindesschuhen :D

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Genau richtig. Das ist eine mögliche Variante. Eine andere Variante ist das, was Wolfgang benutzt hat: \(\neg (\forall x\in X: \neg p(x))\). Ist dir klar, warum das auch funktioniert?

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nee eben nicht ganz ich steh auf der Leitung. Also ist meine Variante auch richtig? und kann so verwendet werden? nur, dass ich weiß....

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Deine Variante würde man mit "Es gibt ein \(x\in X\), sodass \(p(x)\) wahr ist" übersetzen. Und das ist das gleiche wie "\(p(x)\) ist nicht für alle \(x\in X\) falsch".

Die Aussage "\(p(x)\) ist für alle \(x\in X\) falsch" sieht so aus: \(\forall x\in X: \neg p(x)\) (soweit klar?).
Die Aussage, die wir ursprünglich hatten, also "\(p(x)\) ist nicht für alle \(x\in X\) falsch", ist genau die Negation davon, also \(\neg(\forall x\in X: \neg p(x))\). Aber das ist wie gesagt das gleiche wie deine Variante.

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okay das verstehe ich jetzt sehr gut danke für deine Bemühungen.

¬(∀x∈X:¬p(x)) das is mir klar aber nicht das was Wolfgang geschrieben hat :

(¬∀x∈X:¬p(x)) 

  das

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Das bedeutet beides das gleiche.

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das heißt es würde auch folgendes für Bsp. c stimmen:

(∃x∈X) : p(x) =>  (∃y∈X) : q(y) 

und als Negation:

∀x∈X:(p(x)∧(∀y∈X:¬q(y)) 

Oder bin ich da wieder daneben. Wenn man eben nach meiner Lösung der Frage arbeitet.

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Die Negation stimmt nicht. Die Negation von \(a\Rightarrow b\) ist \(a\wedge \neg b\) (das hatten wir ja gestern und heute schon ein paar mal verwendet). Versuche jetzt nochmal, die Negation zu bilden.

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a ist doch  (∃x∈X) : p(x) und b  (∃y∈X) : q(y)  

dann ist ((∃x∈X) : p(x)) ∧ ¬((∃y∈X) : q(y))  

und ich dachte dass dann (∃x∈X:(p(x))∧ ((∀y∈X:¬q(y)) ist

stimmt auch wieder nicht oder??

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Doch, so ist das genau richtig.

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Danke !!! weißt du ich war komplett verwirrt, weil in anderen Forumsbeiträgen haben sie mir gaaanz andere Dinge erzählt bzw. gemeint, dass sie richtig wären.

Aber jetzt ist mir alles klar. Danke schön für deine Geduld, dass ist wirklich nicht selbstverständlich DANKE