Beweise: n + m = m + n für n Element der natürlichen Zahlen:

Question

folgende Aufgaben können wir freiwillig beweisen:
Beweise: n + m = m + n für n ∈ ℕ.
Tipp war, wir sollen dies mit der natürliche Induktion und per Peano Axiome lösen.

Mein Weg mit der natürlichen Induktion:
1) Die Aussage für das erste Element (also 1) zeigen:
     n + m = m + n => 1 + m = 1 + m                              
2) Induktionsannahme:
     Was für n, m erfüllt ist, gilt auf für die Nachfolger n + 1 und m + 1:
     (n + 1) + (m + 1) = (m + 1) + (n + 1)
     n + m + 2 = n + m + 2

Peano (ii) besagt, dass es keinen Nachfolger von n ∈ ℕ gibt, der gleich eins ist.
Also n' ≠ 1.
Peano (iii) besagt, dass wenn n ∈ ℕ ist, auch der Nachfolger n' ∈ ℕ ist.

Damit ist bewiesen, dass n + m = m + n für n ∈ ℕ gilt. q.e.d.

Dies ist mein aller erster Beweis, den ich selbst löse. Daher weis ich nicht, ob ich alles
korrekt ausgeführt habe, ob ich etwas zu viel oder zu wenig beachtet habe.
Daher bitte ich euch, meinen Beweis zu überprüfen :-)

, Florian T. S.

Comments

Nochmal von vorne.
Beweise: n + m = m + n, mit n ∈ ℕ

Aussage für das erste Element: 1 + m = m + 1
Aus Peaono (iii) folgt n, m ∈ ℕ und n = m, also folgt 1 + 1 = 1 + 1 => 2 = 2

Behauptung:
Wenn dies für n gilt, dann auch für n + 1.
(1 + m)' = (m + 1)'
1 + m' = m' + 1

Peano (ii) besagt, ¬∃n∈ℕ: n' = 1.
Es gilt zudem Peano (iv).Da n∈ℕ und n'∈ℕ ist auch m'∈ℕ. Da Peano (iii) ist n' = m'.
Somit folgt: 1 + m + m = m + m + 1, da m' der Nachfolger von m ist und Peano (ii) gilt!

q.e.d. (??)

---

Weis keiner weiter???

---

Es kommt immer darauf an, was schon gezeigt wurde und somit verwendet werden darf. Anstatt hier das Rad neu zu erfinden ließ hier nach:

http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=316

Da hast du eine ausführliche Bearbeitung.

---

Vielen dank Yakyu! :-)

Gehe ich von meinen Bedingungen aus, scheint der Beweis richtig zu sein :-)

Answer 1

Beweise: n + m = m + n für n ∈ ℕ.

Induktionsanfang:  zu zeigen 1+m = m+1

Das musst du streng genommen über Induktion nach m zeigen

(denn kommutativität der Addition darfst du nicht benutzen,

musst alles auf Definition der Addition zurückführen.

Füpr diesen neuen Induktionsbeweis wäre Induktionsanfang

1+1 = 1+1

und 1+1 ist ja definiert als der Nachfolger von 1 ( häufig mit 1' bezeichnet)

und weil 1=1 sind auch die Nachfolger gleich (Peano ! )

dann Induktionsschritt: wenn 1+m = m+1 dann auch

(1+m)'  = (m+1)'    etc. Musst alles auf Definitionen

und Peano zurückführen.

Comments

dann Induktionsschritt: wenn 1+m = m+1 dann auch (1+m)'  = (m+1)'

Mitnichten. Es ist vielmehr zu zeigen, dass dann auch  1+m' = m'+1 gilt.

Dieser ganze Beweis ist als Einführungsbeispiel denkbar ungeeignet.

---

Ich verstehe gerade nicht wieso (1 + m)' anstannt (n + m)', kannst du mir das erläutern?

Hat sich erledigt! :-)

---

IS: (1 + m)' = (m + 1)'
also: 1 + m' = m' + 1
Somit folgt: m' = m'

Korrekt?