Nullstellenbestimmung: a) x^4-7x^3+2x^2+18x-28=0 und b) x^4-5x^2-36=0

Question

4)

a) x^4-7x^3+2x^2+18x-28=0

b) x^4-5x^2-36=0

Answer 1

a) x⁴-7x³+2x²+18x-28=0

Die Gleichung hat nur "krumme" Lösungen und kann nur mit einem Näherungsverfahren (zum Beispiel Newtonverfahren) gelöst werden.

x = 1.241922540 - 0.9306199847•i ∨ x = 1.241922540 + 0.9306199847•i  (komplex)

∨ x = -1.831515203 ∨ x = 6.347670122  (reell)

b) x⁴-5x²-36=0  (biquadratische Gleichung ohne x³ und x)

x = - 2•i ∨ x = 2•i  (komplex)  ∨ x = -3 ∨ x = 3 (reell)

Hier kann man die Lösungen durch die Substitution  z = x² finden:

z² - 5z - 36 = 0

....  (z.B. pq-Formel)

z = 9 ∨ z = -4 

x² = 9 oder x² = -4  ergibt die oben angegebenen Lösungen

Answer 2

a) kann nur durch Nährungsverfahren(z.B. Newton) gelöst werden.

x_1≈ 6.3477

x_2≈ -1 .8315

b) Substituiere z= x^2

z^2-5z -36=0 -->pq -  Formel:

z1,2= 5/2 √25/4 +144/4

z_1= 9

z_2= -4

Resubstitution

x1.2= ±3

x3.4=±2i komplexe Nullstellen