Was ist aus der Aufgabe der Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt sowie die Symmetrie?

Question

Unser Lehrer hat uns eine Aufgabe gegeben, und wie er ja so nett war, auch die Lösung. Allerdings habe ich mehrmals folgende Aufgabe schon ausgerechnet, und komme nicht auf den gleichen Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt und Symmetrie. 

$$ f(x)=(x-1)(3-x)^{ 2 } $$

Laut dem Lehrer soll folgendes rauskommen:

Hochpunkt 5/3

Tiefpunkt 3

Wendepunkt 7/3

und es soll punktsymmetrisch sein in bezug auf den Wendepunkt. 

Aber wie kommt man bitte auf diese Ergebnisse??? Ich hab z. B. als Hochpunkt -1/3 raus, was ja total was anderes ist. 

Schon mal vielen Dank für eure Antworten. 

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = (x - 1)·(3 - x)^2 = (x - 1)·(9 - 6·x + x^2) = 9·x - 6·x^2 + x^3 - 9 + 6·x - x^2 = x^3 - 7·x^2 + 15·x - 9

f'(x) = 3·x^2 - 14·x + 15

f''(x) = 6·x - 14

Verhalten im Unendlichen

Die Funktion verläuft vom III Quadranten in den I Quadranten. Von links unten nach rechts oben.

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 9

Nullstellen f(x) = 0

(x - 1)·(3 - x)^2 = 0

x = 1 --> Einfache Nullstelle

x = 3 --> Doppelte Nullstelle und damit auch ein Extrempunkt

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 - 14·x + 15 = 0

x = 5/3 ∨ x = 3

f(5/3) = 32/27 --> Hochpunkt

f(3) = 0 --> Tiefpunkt

Wendepunkte f''(x) = 0

6·x - 14 = 0

x = 7/3

f(7/3) = 16/27 --> Wendepunkt

Answer 2

f(x) = (x-1)(x-3)^2 

Skizziere die Funktion aufgrund der Vielfachheit der Nullstellen.

Das sieht etwas so aus:

~plot~ (x-1)(x-3)^2 ~plot~

Du weisst, dass bei der doppelten Nullstelle x=3 kein Vorzeichenwechsel vorkommt. Daher wird dort ein lokales Minimum oder Maximum liegen. 

Da sie andere Nullstelle "links" von x=3, nämlich bei x=1, liegt, ist x=3 ein lokales Minimum.

Das alles ohne Rechnung.

Ohne Rechnung ebenfalls: 

Es lässt sich zeigen, dass Graphen von Funktionen 3. Grades punktsymmetrisch sind zum Wendepunkt. Das muss hier auch gelten, da x^3 als höchste Potenz von x in der Funktionsgleichung enthalten ist. 

Nun schreib mal deine Rechnung hin, damit man schauen kann, was da beim Hochpunkt schief gelaufen ist.

Beachte (3-x)^2 = 9 - 6x + x^2 ist dasselbe wie (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 

Comments

Hi, ok, also meine Rechnung ist folgende, die ich habe (Nullstellen hab ich übrigens immerhin hinbekommen). 

Also nach Auflösung der Aufgabe habe ich folgendes raus: 

$$ f(x)={ x }^{ 3 } - 7{ x }^{ 2 }+15x-9$$

Davon hab ich dann abgeleitet:

$$ f'(x)=3{ x }^{ 2 }-14x+15 $$

$$ f''(x) = 6x-14 $$

$$ f ''' (x) = 6 $$

Und nur das Beispiel für den Hochpunkt. 

Ich weiß ja, dass der Hochpunkt die notwendige Bedingung f'(x) = 0 hat. Also hab ich folgendes eingesetzt: 

$$ 3{ x }^{ 2 }-14x + 15 = 0 $$

$$ 3{ x }^{ 2 }-14x = -15 $$

$$ 3x - 14 = -15 $$

$$ 3x = -1 $$

$$ x = -1/3 $$ 

Und eine Frage noch zur Symmetrie: Ich weiß, dass bei dem Exponenten 3. Grades es punktsymmetrisch sein müsste, aber doch auch nur, wenn die anderen Exponenten ebenso ungerade sind, aber in der Ursprungsfunktion gibt es auch x². Darum verstehe ich das nicht. 

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3x^2 - 14x + 15 = 0 ist eine quadratische Gleichung. Da musst du mit einer der dir bekannten Formeln dahinter. 

Zur Symmetrie: Schau mal meine Skizze an. Zeichne das Symmetriezentrum und den Wendepunkt der Kurve ein.

Deine "Regel" zur Symmetrie bezieht sich nur auf die Symmetrie zum Koordinatenursprung 0(0|0). 

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Hier ist in deinen Berechnungen ein Fehler

3x^2 - 14x = -15
3x - 14 = -15

Du hast alles durch x geteilt aber auf der rechten Seite
war gar kein x vorhanden.

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Ja, war mir gar nicht sicher, ob man das so machen kann. Anscheinend also nicht. 

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Unter "

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt" findest du hier https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie  ein Beispiel mit Punktsymmetrie, die sich nicht auf den Koordinatenursprung bezieht.   Bei Interesse mal das kostenlose Video weiter oben im Link ansehen. 

Answer 3

Zum Vergleich:

f(x) = x^3-7x^2+15x-9

f '(x) = 3x^2 -14x+15

f ''(x) = 6x -14

Wenn du das verwendest, kommen die Ergebnisse des Lehrers tatsächlich raus.