Wie kann ich untersuchen welche Punktart an der Stelle X vorliegt (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt oder Stattelpunkt)?

Question

Wie untersuche ich die Punktart an der Stelle x vorliegt?

Brauche hilfe und könntet ihr mir helfen bei den zwei Beispielen die Lösung zeigen damit ich weiß wie ich bei den anderen Gleichungen die Punktart herausfinden kann.

Aufgabe: Untersuchen Sie, welche Punktart an der Stelle x vorliegt, Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt oder Stattelpunkt.

a) 2X³-6x², X=1 und X=2

b) 1/6X⁶-1/3X³, X=0 und X=1

Answer 1

Die Kriterien dafür findest Du z.B. hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Hinreichende_Kriterien

dort im dritten Punkt. Es kommt dabei auf gerade/ungerade an.

Versuch damit mal und melde Dich, wenn's nicht klappt.

Answer 2

Ausführlich:

a) f(x) = 2x^3-6x^2

f '(x)= 6x^2-12x

f ''(x) = 12x -12

f '''(x) = 12

Extrema:

f '(x) = 0

6x^2-12x =0

6x(x-2) =0

x= 0 v x = 2

f ''(0) = -12 -> Maximum bei x= 0

f ''(2) = 12 -> Mininum bei x= 2

f''(x) = 0

12x-12 = 0

x= 1

f '''(1) = 12 -> Wendepunkt bei x= 1

Answer 3

a) 

f(x) = 2·x^3 - 6·x^2 ; x = 1 und x = 2
f'(x) = 6·x^2 - 12·x
f''(x) = 12·x - 12
f'''(x) = 12

f(1) = - 4
f'(1) = - 6
f''(1) = 0
f'''(1) = 12 → Der Punkt (1 | - 4) ist ein Wendepunkt der Funktion.

f(2) = - 8
f'(2) = 0
f''(2) = 12 → Der Punkt (2 | - 8) ist Tiefpunkt der Funktion

b) 

f(x) = 1/6·x^6 - 1/3·x^3 ; x = 0 und x = 1
f'(x) = x^5 - x^2
f''(x) = 5·x^4 - 2·x
f'''(x) = 20·x^3 - 2

f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f'''(0) = -2 → Der Punkt (0 | 0) ist Sattelpunkt der Funktion

f(1) = - 1/6
f'(1) = 0
f''(1) = 3 --> Der Punkt (1 | - 1/6) ist Tiefpunkt der Funktion