das rot markierte kommt mir komisch vor:
Bemerkung:
Seien X, Y Mengen und f: x ↦ y eine Abbildung. Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) f ist Injektiv
(ii) Für alle x1 und x2 aus X mit f(x1) = f(x2) gilt bereits x1 = x2
(iii) ∀y∈Y ist M f-1({y}) höchstens ein elementig.
Beweis (durch Ringschluss):
Wir zeigen (i) => (ii) aus (ii) => (iii) und aus (iii) folgt (i).
Zu „(i) => (ii)“ Gelte f ist injektiv, das heist ∀x1,x2∈X: (x1≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2))
(Wir nutzen ((A => B) ó (¬B => ¬A))
Dann gilt ∀x1,x2∈X: (f(x1) = f(x2) => x1 = x2)
Zu „(ii) => „iii)“ Gelte ∀x1,x2∈X: (f(x1) = f(x2) => x1 = x2)
Sei y ∈ Y, dann betrachten wir die Menge:
f-1({y}) = {x ∈ X | f(x) ∈ {y} = {x ∈ X | f(x) = y}
Angenommen es gibt x1 ≠ x2 ∉ f-1({y}).
Dann gilt aber f(x1) ∈ {y} und f(x2) ∈ {y}, also f(x1) = y und f(x2) = y,
insbesondere also f(x1) = f(x2)
=> x1 = x2 (Widerspruch) Also f-1({y}) eindeutig.
Zu „(iii) => (i)“ Gelte also ∀y∈Y, dass f-1({y}) höchstens ein Element ist.
Seien x1, x2 aus X mit der Eigenschaft x1 ≠ x2. Ziel: f(x1) ≠ f(x2).
Angenommen es gilt f(x1) = f(x2) ∈ Y.
Betrachte: f-1({f(x1)}) = {x ∈ X | f(x) = f(x1) = f(x2)}
Es gilt x1 ∈ f-1({f(x)}) und x2 ∈ f-1({f(x1)})
Da x1 ≠ x2 gilt #f-1({f(x1)}) ≥ 2
Also f(x1) ≠ f(x2)
Warum ≥ 2 ???? Hat der Tutor da etwas falsch gemacht? Wenn ja,
was wird anstatt von 2 eingesetzt?
Florian T. S.