Erstmal kann man v ja noch anders darstellen, wenn man die Definition von z einsetzt:
v = (a+b+c)/3 + (|b/3+c/3 - 2a/3| + |a/3+c/3 - 2b/3| + |a/3+b/3 - 2c/3|) /3
v = 1/3* (a+b+c + 1/3*(|b+c-2a| + |a+c-2b| + |a+b-2c|))
v = 1/9* (3a + 3b + 3c + |b+c-2a| + |a+c-2b| + |a+b-2c|)
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man davon ausgehen, dass die Zahlen der Größe nach geordnet sind, sodass a ≥ b ≥ c gilt.
Daraus folgt, dass der letzte Betrag in jedem Fall schonmal weggelassen werden kann, denn:
a+b-2c ≥ c + b -2c ≥ c+c-2c ≥ 0
v = 1/9*(3a+3b+3c + a + b - 2c + |b+c-2a| + |a+c-2b|)
v = 1/9*(4a+4b+c + |b+c-2a| + |a+c-2b|)
Außerdem muss beim ersten Betrag das Vorzeichen umgedreht werden, denn:
b+c-2a ≤ a+c-2a ≤ a+a-2a ≤ 0
v = 1/9*(4a+4b+c -(b+c-2a) + |a+c-2b|)
v = 1/9*(6a+3b + |a+c-2b|)
Jetzt muss eine Fallunterscheidung gemacht werden, da über den letzten verbleibenden Betrag keine Aussagen getroffen werden können:
Falls b≤(a+c)/2: v = 1/9*(6a+3b+a+c-2b) = 1/9*(7a+b+c)
Falls b≥(a+c)/2: v = 1/9*(6a+3b-(a+c-2b) = 1/9*(5a+5b-c)
In beiden Fällen steigt v also, wenn a oder b steigen. Falls außerdem b kleiner ist als der Mittelwert zwischen a und c, dann steigt v, wenn c steigt, ansonsten steigt v wenn c sinkt.
Also kann man die beiden maximalen Möglichkeiten herausfinden, indem man einfach mal die optimalen Werte einsetzt, also im ersten Fall für a, b und c 100: v(100,100,100) = 1/9*(7*100+100+100) = 100
Im zweiten Fall für a und b 100 und für c 0: 1/9*(5*100+5*100-0) = 1000/9 ≈ 111,111
Da v ebenfalls eine natürliche Zahl sein soll, muss man für c stattdessen 1 einsetzen. Dann erhält man
v = 999/9 = 111.
