Den maximalen Wert einer Schädlingsmenge berechnen

Question

Hallo liebe Forenmitglieder,

Nach der Ausbringung eines Pflanzenschutzmittels auf einem Roggen- sowie auf einem Gerstefeld verläuft der Bestand eines Schädlings gemäß

r(t) = (t + 1) / e ^c*t  auf dem Roggenfeld  bzw.  g(t) = (t + 1) / (µ + t²)

auf dem Gerstefeld für t >gleich 0 (in Tagen), dabei sind 0<c<1 bzw.µ >0 durch das Verhältnis von genetisch modifizertem zu konventionellem Anteil im Saatgut einstellbare Werte.

(i) Zu welchem Zeitpunkt nehmen die Schädlingsmengen jeweils den maximalen Wert an (in Abhängigkeit von c bzw. µ)? Hinweis: Die Berechnung der zweiten Ableitung läßt sich vermeiden.

(ii) Wie müssen c bzw. µ gewählt werden, damit der maximale Wert nach 36 Stunden erreicht wird?

(iii) Wie wirkt sich eine Vergrößerung des genetisch modifizierten Anteils – also ein größeres c bzw. µ – auf den Zeitpunkt des Maximums des Schädlings aus?

(iv) Auf welchem der beiden Felder nimmt die Gesamtmenge des Schädlings langfristig schneller ab?

 

MfG

Comments

Stehen 1 + t auf dem Bruchstrich? r(t) = (1 + t) / e^{ct}

Und µ + t^2 unter dem Bruchstrich? g(t) = (t+1) / (µ + t²)

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Ja, sorry, sind beides Bruchstriche.

Answer 1

(i)

r(t) = (t + 1) / e^{ct} = (t + 1)e^{-ct}  = uv
u = t + 1, u' = 1
v = e^{-ct}, v' = -ce^{-ct}
r'(t) = (uv)' = u'v + uv'
r'(t) = e^{-ct} - (t + 1)ce^{-ct} = -e^{-ct}(ct + c - 1)

r'(t) = 0
-e^{-ct}(ct + c - 1) = 0 | : -e^{-ct}
ct + c - 1 = 0
t = (1 - c)/c
t_max(c) = (1 - c)/c

g(t) = (1 + t) / (µ + t^2) = u/v
u = 1 + t, u' = 1
v = µ + t^2, v' = 2t

g'(t) = (u'v - uv')/v^2
g'(t) = (µ + t^2 - (1 + t)2t)/(µ + t^2)^2
g'(t) = (µ + t^2 - 2t - 2t^2)/(µ + t^2)^2
g'(t) = (µ -t^2 - 2t)/(µ + t^2)^2
g'(t) = (µ - t(t + 2))/(µ + t^2)^2

g'(t) = 0
(µ - t(t + 2))/(µ + t^2)^2 = 0 | *(µ + t^2)^2
µ - t(t + 2) = 0
µ - t^2 - 2t = 0
t^2 + 2t - µ = 0
t = -1 ±√(1 + µ)
t = -1 + √(1 + µ), die negative Lösung entfällt, weil wir t >= 0 betrachten.
t_max(µ) = -1 + √(1 + µ)

(ii)

In den Funktionsgleichungen ist t in Tagen angegeben, wir rechnen 36h in Tagen um.
t_max = 36/24 h  
t_max = 1.5 Tage

(1 - c)/c = 1.5
1 - c = 1.5c
2.5c = 1
c = 1/2.5
c = 0.4

-1 + √(1 + µ) = 1.5
√(1 + µ) = 2.5
1 + µ = 6.25
µ = 5.25


(iii)
Ein größeres c läst t_max = (1 - c)/c kleiner werden,
der Zeitpunkt des Maximums wird mit steigendem c früher erreicht.
Ein größeres µ lässt t_max = -1 + √(1 + µ) größer werden,
der Zeitpunkt des Maximums wird mit steigendem µ später erreicht.


(iv)
Bei r(t) = (t + 1) / e^{ct} ist die Abnahme des Schädlingsbestandes proportional
zum exponentiellen anstieg des Nenners, bei g(t) = (1 + t) / (µ + t^2)
wächst der Nenner lediglich proportional zum Quadrat der Zeit, daher
fällt r(t) mit wachsendem t schneller ab als g(t).