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folgende Aufgabe bereitet mir gerade Schwierigkeiten:
"Wir betrachten Tupel (m, n) und (m', n') natürlicher Zahlen in ℕ x ℕ. Zeigen Sie: Die Vorschrift
(m, n) ~ (m', n') falls m + n' = m' + n definiert eine Äquivalenzrelation auf ℕ x ℕ.

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll :-/

Florian T. S.

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Eine Äquivalenzrelation R⊆M×M ist
  1. reflexiv (a,a)∈R ∀a∈M
  2. symmetrisch (a,b)∈R ⇒ (b,a)∈R ∀a,b∈M
  3. transitiv (a,b)∈R ∧ (b,c)∈R ⇒ (a,c)∈R ∀a,b,c∈M

zu 1. Es ist (m, n)~(m, n), da m+n=m+n ist.

zu 2. Es sei (m, n)~(m', n'). Dann ist m+n'=m'+n. Dann ist m'+n=m+n'. Also ist (m', n')~(m, n).

zu 3. Es sei (a1, a2)~(b1, b2) und (b1, b2)~(c1, c2). Dann ist a1+b2=b1+a2 und b1+c2=c1+b2. Zeige dass dann auch a1+c2=c1+a2 ist.

Nebenbei, die Menge der Äquivalenzklassen sieht verdammt ähnlich aus wie ℤ.

Avatar von 107 k 🚀

Warum eigentlich M x M oswald? :-)


Äquivalenzrelationen definieren Beziehungen zwischen Elementen innerhalb einer Menge. Ich habe diese Menge M genannt. In deinem Fall ist M=ℕ×ℕ. Die Äquivalenzrelation ist also eine Teilmenge von (ℕ×ℕ)×(ℕ×ℕ).

Letzteres habe ich so bewiesen:

Sei (m, m') ~ (o, o'), dann ist m + o' = o + m'.

m wäre a, n wäre b und o wäre c in meiner Berechnung. Korrekt?

Ich verstehe nicht. Es genügt eigentlich, die Gleichung b1+c2=c1+b2 nach b2 aufzulösen und in die Gleichung a1+b2=b1+a2 einzusetzen. Nach Umformung bekommst du dann das gewünschte. a1+c2=c1+a2, was zeigt, dass (a1, a2)~(c1, c2) gilt, also Transitivität erfüllt ist.

Achso ok! Ich habe eben zu kompliziert gedacht, ich wollte das ganze nur durch eine weitere Umformung beweisen, dass mit dem einsetzen wäre mir nie in den Kopf geschossen :-) Danke oswald

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