Wir betrachten Tupel (m, n) und (m', n'):

Question

folgende Aufgabe bereitet mir gerade Schwierigkeiten:
"Wir betrachten Tupel (m, n) und (m', n') natürlicher Zahlen in ℕ x ℕ. Zeigen Sie: Die Vorschrift
(m, n) ~ (m', n') falls m + n' = m' + n definiert eine Äquivalenzrelation auf ℕ x ℕ.

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll :-/

Florian T. S.

Answer 1

Eine Äquivalenzrelation R⊆M×M ist

1. reflexiv (a,a)∈R ∀a∈M
2. symmetrisch (a,b)∈R ⇒ (b,a)∈R ∀a,b∈M
   
3. transitiv (a,b)∈R ∧ (b,c)∈R ⇒ (a,c)∈R ∀a,b,c∈M

zu 1. Es ist (m, n)~(m, n), da m+n=m+n ist.

zu 2. Es sei (m, n)~(m', n'). Dann ist m+n'=m'+n. Dann ist m'+n=m+n'. Also ist (m', n')~(m, n).

zu 3. Es sei (a1, a2)~(b1, b2) und (b1, b2)~(c1, c2). Dann ist a1+b2=b1+a2 und b1+c2=c1+b2. Zeige dass dann auch a1+c2=c1+a2 ist.

Nebenbei, die Menge der Äquivalenzklassen sieht verdammt ähnlich aus wie ℤ.

Comments

Warum eigentlich M x M oswald? :-)

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Äquivalenzrelationen definieren Beziehungen zwischen Elementen innerhalb einer Menge. Ich habe diese Menge M genannt. In deinem Fall ist M=ℕ×ℕ. Die Äquivalenzrelation ist also eine Teilmenge von (ℕ×ℕ)×(ℕ×ℕ).

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Letzteres habe ich so bewiesen:

Sei (m, m') ~ (o, o'), dann ist m + o' = o + m'.

m wäre a, n wäre b und o wäre c in meiner Berechnung. Korrekt?

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Ich verstehe nicht. Es genügt eigentlich, die Gleichung b₁+c₂=c₁+b₂ nach b₂ aufzulösen und in die Gleichung a₁+b₂=b₁+a₂ einzusetzen. Nach Umformung bekommst du dann das gewünschte. a₁+c₂=c₁+a₂, was zeigt, dass (a₁, a₂)~(c₁, c₂) gilt, also Transitivität erfüllt ist.

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Achso ok! Ich habe eben zu kompliziert gedacht, ich wollte das ganze nur durch eine weitere Umformung beweisen, dass mit dem einsetzen wäre mir nie in den Kopf geschossen :-) Danke oswald