Ich möchte die Stammfunktion zu f(x)= x(x^2+1)^3 ausrechnen

Question

Hi,

ich habe eine Frage zu diesem Integral:

$$\int { x({ { x }^{ 2 } } } +1){ ^{ 3 } }dx$$

Mit Substitution und 1/2 vor das Integral schreiben kann ich die Aufgabe gut lösen und komme auf das Ergebnis:

$$F(x)=\frac { { (x }^{ 2 }+1)^{ 4 } }{ 8 } $$

Ich verstehe leider nicht die Variante mit dem Dz/Dx oder Dt/Dx

t oder z ist die Variable die ich für die Substitution benutze.

Wenn ich versuche die Aufgabe so zu lösen, steht bei mir am Ende z^3 *x * Dz/x , das ist doch Mist oder? Was ist nochmal das Dz?

Answer 1

Du substituiert \( z=x^2+1 \). Das \( z \) kannst du als Funktion \( z(x)=x^2+1 \) auffassen und ableiten: \( z'(x)=2x \).

Eine andere Schreibweise für "Ableitung der Funktion \( z \) nach der Variablen \( x \)" ist \( \frac{dz}{dx} \). Damit bekommst du \( \frac{dz}{dx} = 2x \). Das ist zwar kein Bruch, aber du darfst die linke Seite in diesem Fall so behandeln als ob er einer wäre. Umformen nach \( dx \) liefert dann \( dx=\frac{dz}{2x} \).

Jetzt ersetzt du in der Funktion genau das \( x^2+1 \) durch \( z \) und das \( dx \) durch \( \frac{dz}{2x} \). Dadurch bekommst du \( \int {x\cdot z^3 \frac{dz}{2x}} \).

Auch \( \frac{dz}{2x} \) ist kein Bruch, aber du darfst es in diesem Fall so so behandeln. Dadurch kann \( x \) weggekürzt werden und es verbleibt \( \int {\frac{1}{2}\cdot z^3 dz} \).

Comments

Hi, dank! Du hast sehr cool den Ablauf wiedergegeben zum Nachvollziehen wunderbar. Noch eine Frage, dann bin ich durch: welche Bedeutung hat dz hinter dem z^3 :-) . Also ich integriere ja jetzt an der Stelle das z und mache dann die Rücksubstitution. Grüße

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Das dz ist ein Relikt aus den Anfangstagen der Differential- und Integralrechnung. Eigentlich braucht man es heute nicht mehr. Heutzutage gibt es nur noch die Variable an, nach der auf- oder abgeleitet wird. Das könnte man zwar auch anders kenntlich machen, aber in manchen Fällen (s.o.) ist es doch zum Rechnen ganz nützlich.

Mehr dazu: Differential (Mathematik).

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Eine Sache vielleicht noch: Die Untersumme ist definiert als \( \sum_{i=0}^{n-1} \inf_{x_i< x< x_{i+1}} f(x) \cdot \Delta x \), wobei \( \Delta x=\frac{b-a}{n} \) die Breite der Teilintervalle ist und \( x_i \) die linke Grenze des Teilintervalls \( i \) ist. Der Grenzwert für \( n\to \infty \) ist das Integral. In diesem Fall wird

• \( \sum_{i=0}^{n-1} \) ersetzt durch \( \int_a^b \),
• \( \inf_{x_i< x< x_{i+1}} f(x) \) durch \( f(x) \) und
• \( \Delta x \) durch \( dx \).

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Ok, danke. Mit dem zweiten Post kann ich noch nicht so viel anfangen, weil ich das Thema in der Schule erst angefangen habe und wir haben mit dem freien Integral begonnen. Wenn die Funktion mal unübersichtlicher wird, ist es bestimmt ganz praktisch, wenn dasteht nach was aufgleitet wird. Aber ein anderes Zeichen würde schon besser aussehen.

Answer 2

Ich verstehe leider nicht die Variante mit dem Dz/Dx oder Dt/Dx , so geht es

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Danke für die Ausführung.