Zeige f verknüpft mit g = f verknüpft mit h:

Question

gelten folgende Bedinungen:
f(x):= {x/2 für x gerade ; (x + 1)/2 für x ungerade
g(w):= 2w
h(w):= 2w - 1

dann soll f ° g = f ° h sein. Ich verstehe nicht, wie ich Schrittweise fortfahren muss :-/

Comments

Du müsstest uns schon die Definitionsmengen von f , g und h mitteilen.

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Ups, entschuldige Wolfgang:
Es seien X = {1, 2, ..., 10}, Y = {1, ..., 6} und W = {1, ..., 5}.
Desweiteren seien f: X -> Y , g: W -> X und h: W -> X
f(x):= {x/2 für x ∈ X gerade ; (x + 1)/2 für x ∈ X ungerade
g(w):= 2w für w ∈ W
h(w):= 2w - 1 für w ∈ W

Answer 1

f ° g = f ° h

Jeden falls geht f ° g  von W nach Y und  f ° h  auch.

Sei nun w aus W, dann gilt

f ° g (w) 

=  f(2w) = w  weil 2w ja jedenfalls gerade ist.

f ° h (w) = f(2w-1)  und weil 2w-1 ja jedenfalls ungerade ist

=   (  2w-1 + 1) / 2  )   =  w .

Also beide gleich.

Answer 2

wenn ich für f,g,h von D = ℤ (oder ℕ) ausgehe, gilt:

f o g (x) = f (g(x)) = f(2x) = 2x/2 , weil 2x immer gerade ist

-> f o g (x) = x

f o h (x) = f( h(x)) = f(2x-1) ,weil 2x-1  immer ungerade ist

->  f o h (x) = [(2x-1) - 1] / 2 = x

Comments

Habe deine Definitionsmengen leider jetzt erst gelesen.

Aber da f hier immer auf g(x) und h(x) angewendet werden kann - was nicht immer der Fall ist - passt die Argumentation hier auch.

Answer 3

Hallo Florian,

\(f\circ g \) und \(f \circ h \) sind jeweils Funktionen von \( W\) nach \(Y\).

Insbesondere ist für alle \( x \in W \):

$$ f(g(x)) = f(h(x)) = x $$

Gruß