g Verknüpft mit f messbar, dann ist auch g (bzw. f) messbar widerlegen

Question

Aufgabe:

Sei \( \mu \) ein Maß auf \( \mathbb{R}^{N} \), für das nicht messbare Mengen \( E \subset \mathbb{R}^{N} \) existieren. Weiter seien \( f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) Funktionen:

Ist \( g \circ f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R} \mu \)-messbar, so ist \( g \mu \)-messbar;
Ist \( g \circ f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R} \mu \)-messbar, so ist \( f \mu \)-messbar;

Problem/Ansatz:

Wenn ich richtig liege, müssten beide Aussagen falsch sein - ich müsst diese also widerlegen. Dabei komme ich allerdings nicht wirklich weiter.

Dass, dass \( g \circ f \) messbar ist, wenn \( (g \circ f)^{-1}((\alpha, \infty)) \) für alle \( \alpha \) messbar ist, ist mir klar - aber wie kann ich nun den Gegenbeweis konstruieren?

Danke für Hilfe!

Answer 1

Nimm eine nicht-messbare Funktion, z.B. die charakteristische Funktion zu einer nicht-messbaren Menge und kombiniere sie mit der Null-Funktion (die alles auf 0 abbildet).