Zeigen, dass Z eine Teilmenge einer Partition ist.

Question

Aufgabe:

Eine Partition einer Menge X wurde definiert als eine Teilmenge \( ℤ ⊆ \mathcal { P } ( X ) \backslash \{ \emptyset \} \) mit den Eigenschaften

i) \( \bigcup \limits_ { A \in Z } A = X \)

ii) \( \underset { A , B \in Z } { \Lambda } ( A \neq B \Longrightarrow A \cap B = \emptyset ) \)

a) Zeige, dass eine Teilmenge \( Z \subseteq \mathcal { P } ( X ) \) eine Partition ist genau dann, wenn gilt:

b) Sei \( Z \subseteq \mathcal { P } ( \mathcal { X } ) \) eine Partition einer Menge X. Zeige, dass durch

$$ x \sim y : \Longleftrightarrow \quad V _ { A \in Z } x \in A \wedge y \in A $$

eine Aquivalenzrelation auf X definiert wird, sodass \( X / _{\sim} = Z \)

Ich bitte euch von ganzem Herzen mir folgendes Beispiel zu erklären. Ich stehe leider an bzw. habe nur Teile davon und bin wirklich verzweifelt. Ich kann mir leider das Konstrukt nicht bildlich vorstellen. Kann mir das irgendwer begreiflich machen welche Mengen wie bzw. wo verlaufen und was in wen liegt?

Ich bin euch zutiefst dankbar. 

Bei Beispiel a) hab ich keine Ahnung wie ich mit Berücksichtigung von  i) und ii) schrittweise vorgehe.

Beim Beispiel b) habe ich die Relationen schon gezeigt aber ich kenn mich mit den Äquivalenzklassen dann auch nimmer aus, weil ich es mir nicht bildlich vorstellen kann. Bzw. wie ich mir die Faktormenge vorstellen kann. Wie kann diese gleich Z sein?

Danke Danke

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Answer 1

zu a)

Du musst zwei Richtungen zeigen:

1. Sei Z eine Partition von X und x aus X.

Da X die Vereinigung aller A aus Z ist, gibt es (mindestens) ein A aus Z mit x aus A.

Da je zwei verschiedene Elemente von Z leeren Durchschnitt haben, kann es nicht

mehrere A aus Z geben, die  x enthalten; denn dann wäre x auch im dem Durchschnitt.

Also gibt es genau ein A aus Z.    q.e.d.

umgekehrt:

2. Sei Z eine Teilmenge von P(X) und es gilt:  Für alle x aus X ... (wie es dort stand).

Dann muss man die beiden Eigenschaften (i) und (ii) für Partitionen zeigen.

zu (i): Da alle A aus Z Teilmengen von X sind,  ist die Vereinigung auch eine Teilmenge

von X. Sei andererseits x aus X , dann gibt es ein A, welches x enthält, also ist x in

der Vereinigung aller A.  Damit ist (i) gezeigt.

(ii) Seien A und B verschiedene Elemente von Z. und wäre A∩B nicht leer, dann gibt

es ein x aus A∩Bim Widerspruch zur Tatsache, dass es für jedes x GENAU ein Element

von Z gibt, dass x enthält.

b) erst mal Äquivalenzrel:

(i) reflexiv:  Für jedes x aus X gilt trivilaler Weise x aus A und x aus A, also x ~ x.

(ii) sym:  wenn x ~ y dann x aus A und y aus A, dann nat. auch

yaus A und x aus A also   y ~ x .

(iii) trans.  wenn x ~ yund y ~ z dann 

x aus A und y aus A und y aus A und z aus A also auch

x aus A und z aus A

also  x ~ z.

Damit ist Äq.rel gezeigt.

Die Klassen bezüglich ~ sind genau die Elemente von Z, denn es sind

immer alle genau die in einer Klasse, die in der gleichen Menge A aus Z

liegen.