Zeigen Sie: das k-fache cartesische Produkt Xk = Xx....x X ist eine endliche Menge mit nk Elementen

Question

1. Frage:

Zeigen Sie mit Hilfe von Induktion: Sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig, und $a_{1}, \ldots, a_{2^n}$ reelle Zahlen. Dann gilt
$$\prod \limits_{j=1}^{2^{m}} a_{j} \leq \frac{1}{2^{n}} \sum \limits_{j=1}^{2^{n}} a_{j}^{2^{n}}$$

2. Frage:

Es sei M eine endliche Menge mit n ist element von N Elementen. Zeigen Sie: das k-fache cartesische Produkt X^k = Xx....x X ist eine endliche Menge mit n^k Elementen.

Answer 1

Es sei M eine endliche Menge mit n ist element von N Elementen. Zeigen Sie: das k-fache cartesische Produkt X^{k} = Xx....x X ist eine endliche Menge mit n^{k} Elementen.

Induktion über k

Induktionsanfang: k=1   X¹ = X haben beide n¹ = n Elemente.

Sei es wahr für k

X^k+1 wäre bei sauberer Definition X^k x X das cartesische Produkt
von X^k und X, also alle Paare mit 1. Komponente in X^k und 2. Komponente

in X.     X^k hat nach Ind.vor n^k Elemente und jedes davon bildet mit einer

2. Komponente aus X ein Paar. Es gibt also (n^k) * n = n ^k+1 Elemente.

q.e.d.