Die Folge ist auf Konvergenz zu untersuchen

Question

Die Folge

$$ { x }_{ n }=\frac { (1+{ (-1) }^{ n })n+{ n }^{ 2 } }{ { (n+1) }^{ 2 } }  $$

ist auf Konvergenz zu untersuchen und der Grenzwert ist, wenn vorhanden, zu bestimmen.

Answer 1

teile durch die höchste Potenz, oder schätze die Folge nach oben (und natürlich nach unten ;) ab, oder.....

Folge konvergiert und der Grenzwert ist 1.

Gruß

Comments

Funktioniert das so einfach?

War mir irgendwie unsicher wegen dem (-1)ⁿ...

Aber ja, dadurch dass n/n² gegen 0 geht wird der Klammerinhalt sowieso auch 0.

Wie wäre es aber bei dieser Folge:

$$ { a }_{ n }={ (-1) }^{ n }{ (-n+2) }^{ 3 }  $$

$$ ={ (-1) }^{ n }{ (-n³+6n²-12n+8) } $$

Wenn ich jetzt durch n³ teile komme ich auf folgendes

$$ ={ (-1) }^{ n }{ (-1) } $$

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Das macht doch gar kein Sinn hier durch \(n^3\) zu teilen. Diese Vorgehensweise war vorher nur möglich, da man den Bruch dadurch gekürzt hat. Diese Folge divergiert doch.

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Ist es hier ausreichend wenn man angibt dass durch die Multiplikation mit (-1)ⁿ  die Folge alternierend ist und man somit auf Divergenz schließt?
Oder gibt es noch andere Wege um Divergenz zu beweisen?

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(-n+2)^3 geht doch gegen minus unendlich und divergiert somit selbst schon. Der Faktor (-1)^n sorgt im grunde nur noch dafür, dass die Divergenz unbestimmt ist.