Aus der Aussage A ("a und b sind gerade" oder "a und b sind ungerade) (letzteres kann man noch dazunehmen, da die Summe zweier ungeraden Zahlen ja auch gerade ist) soll die Aussage B ("a + b ist gerade") folgen.
Kontrapositionsbeweis bedeutet nun, dass wir direkt beweisen, dass aus der Negation von B die Negation von A folgt.
Negation von A: "a und b sind gerade" oder "a und b sind ungerade" → "entweder a oder b ist ungerade"
Negation von B: "a + b ist gerade" → "a + b ist ungerade"
Wir beweisen also, dass aus "a + b ist ungerade" die Aussage "entweder a oder b ist ungerade" folgt. Dies funktioniert so:
Wir haben die beiden natürlichen Zahlen a und b, deren Summe a + b ungerade ist. Das heißt, a + b lässt sich darstellen als:
a + b = 2n + 1 (wobei auch n eine natürliche Zahl ist)
Wenn man nun annimmt, dass genau eine der beiden Zahlen gerade ist, dann lässt diese sich als 2m schreiben mit m als natürliche Zahl.
a + 2m = 2n + 1 | - 2m
a = 2n - 2m + 1
a = 2(n - m) + 1
Somit ist in diesem Fall a auf jeden Fall ungerade. Andersherum wäre, wenn a gerade wäre, b ungerade. Das bedeutet, aus "a + b ist ungerade" folgt "entweder a oder b ist ungerade".
Durch die Kontraposition folgt daraus dann nun wiederum, dass die Summe zweier geraden Zahlen auch gerade ist. :)
