Beweis durch Kontraposition dass Wurzel aus gerader Zahl gerade ist

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie den nachfolgenden Satz durch Kontraposition:

Satz: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n∈N eine natürliche Zahl k∈N, so ist k ebenfalls eine gerade Zahl.

A = Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n∈N eine natürliche Zahl k∈N
B = so ist k ebenfalls eine gerade Zahl.
A => B

Problem/Ansatz:

Ich habe also etwas vorliegen: k = \( \sqrt{n} \)

Kontraposition:

Nicht B => Nicht A: Ist k∈N eine gerade Zahl, so ist die Wurzel aus n∈N ebenfalls gerade.
 
Eine gerade Zahl lässt sich folgendermaßen darstellen: 2n

k = \( \sqrt{2n} \)

k = \( 2^{1/2} \) * \( n^{1/2} \)

k = \( n^{1/2} \)

k = n/2

Nun würde ich so argumentieren dass n ja durch 2 geteilt wird, dementsprechend also gerade sein muss da n∈N.

Damit wäre der Satz für mich bewiesen.

Ist das ok so?

Vielen Dank schon mal!

Comments

Nicht B => Nicht A: Ist k∈N eine gerade Zahl, so ist die Wurzel aus n∈N ebenfalls gerade.

Warum ignorierst du das NICHT in der Aussage?

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Müsste die Kontraposition nicht so formuliert werden: Wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl n eine ungerade natürliche Zahl k ist, dann ist auch n ungerade.

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Richtig, ihr habt Recht.

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Wie in den Kommentaren bereits geschrieben müsste die Kontraposition wie folgt lauten:

Wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl n eine ungerade natürliche Zahl k ist, dann ist auch n ungerade.

Nun habe ich also folgendes vorliegen:

k = \( \sqrt{2n+1} \)

k = \( (2n + 1)^{1/2} \)

k = \( (2n)^{1/2} \) + \( \frac{1}{2} \)

k = \( \frac{n}{2} \) + \( \frac{1}{2} \)

k = \( \frac{n+1}{2} \)

Weiter komme ich leider nicht.

Weiß jemand die Lösung?

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\(k= 2^{1/2} * n^{1/2}\)

\(k = n^{1/2}\)

Das ist falsch. Du verwechselst "mal" und "hoch".

\( 2^{1/2}\approx 1.4142\)

Answer 1

Bei deinen Umformungen werden immer gleich mehrere Regeln verletzt. Mach dir bitte jeweils Gedanken über die Regeln, wenn du eine algebraische Umformung vornimmst. Beispiel: Potenz einer Summe gleich Summe der Potenzen? Das ist Unsinn. Du musst auch gar nicht mit Wurzel- oder Potenzregeln irgendwelche Terme umformen. Sondern nur überlegen: Wenn die Wurzel aus einer natürlichen Zahl wieder eine natürliche Zahl ist, was bedeutet das? Was ist denn die Definition von Wurzel? Es ist die Umkehrung des Quadrierens. Wenn k die Wurzel aus n ist, dann ist n das Quadrat von k. Und wenn nun k ungerade ist, was kann man dann über n sagen?