Wie kommt diese Normalengleichung zustande?

Question

Erstelle die Normalengleichung:

p: y= ax²-x

a ist grösser als 0

Lösung: y= x

Kann mir bitte jemand erklären, wie man hier auf die Normalengleichung kommt?

Comments

Da müsste schon mehr über die Normale gegeben sein. Z.B. durch welchen Punkt sie gehen soll. Eine Parabel hat in jedem Punkt eine andere Normale (=Senkrechte).

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Der Lösungsweg sieht so aus ( verstehe nicht wie man hier auf die Normalengleichung kommt. Rest ist klar).

p: y= ax²-x mit a>0 und ihre Normale im Ursprung sind gegeben.

y ' = 2ax - 1    also y ' (0) = -1 also hat die Normale die Steigung +1

und Normalengleichung y = x 

Schnittpunkte zwischen p und der Normalen:

ax² - x = x

ax² - 2x = 0 

x * ( ax - 2 ) = 0

x = 0  oder  ax = 2

x = 2 / a   ( geht da a > 0 )

Also Integral von 0 bis 2/a über die Differenz    x - p= x - (  ax² - x)  = -  ax²  +2x

Stammfunktion ist   - 1 3 *a*x³ + x² 

Gibt für das Integral 4 / ( 3a² ) .  Das gleich 27 gesetzt

4 / 3a² = 27

4 = 81 a²

4/81 = a²  und weil a > 0 ist     a = 2/9

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Schreib doch bitte in Zukunft die komplette Frage hier hin.

und ihre Normale im Ursprung sind gegeben.

Mit dieser Information ist deine Frage überhaupt erst lösbar.

Answer 1

die Gleichung einer Gerade g (also auch einer Tangente oder Normalen) kann man ausrechnen, wenn man die Steigung m und einen Punkt (x_p | y_p)  kennt, durch den sie verläuft:

Unsere Normale soll durch den Punkt P(0|0) verlaufen.

 y= ax² - x    ist die Funktion  (dabei ist a eine feste Zahl, die wir nicht kennen)

-> y' (x) = 2ax -1 

Die Steigung m_T  der Tangente im Punkt (0|0) ist   y'(0) = 2a • 0 -1 =  -1

Die  Normale steht senkrecht auf der Tangente, deshalb gilt für ihre Steigung  

m_N = -1 / m_T = -1/-1 = 1

Unsere Normale hat also die Steigung  m_N = 1 und geht durch den Punkt P(0|0)

Mit der Punktsteigungsformel:   y = m • (x - x_p) + y_p  können wir deshalb die Gleichung der Normalen ausrechnen:

Normale:   y = 1 • (x - 0) + 0 ,   also   y = x

Gruß Wolfgang