Axiome benutzen. Beweis, dass sich 2 nicht parallele Geraden schneiden.

Question

Ich habe eine Frage. Ich muss beweisen, dass der Satz "Zwei nicht parallele Geraden schneiden sich." gilt.

Axiome, die wir aufgestellt haben, sind:

(I1) Zwei Punkte A,B liegen stets auf genau einer Geraden
(I2) Auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte
(I3) Es gibt mindestens 3 Punkte, die nicht auf der selben gerade liegen.

Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele zu g durch P.

Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Liebe Grüße

Answer 1

ein Axiom kann man nicht beweisen, man kann sich höchstens anschaulich klarmachen, dass es erfüllt ist:

Auf einem Zeichenblatt wird bei nicht parallelen Geraden in der einen Richtung der Abstand immer kleiner.

Wenn man sich in Gedanken vorstellt, dass die Geraden über das Zeichenblatt hinaus immer weitergehen, müssen sie sich wohl irgendwo schneiden.

Bei geraden, die irgendwo im Raum verlaufen, muss das Axiom nicht zutreffen.

Gruß Wolfgang

Comments

"ein Axiom kann man nicht beweisen, man kann sich höchstens anschaulich klarmachen, dass es erfüllt ist:"

Es sollen ja auch nicht die Axiome bewiesen werden, sondern der Satz, dass sich zwei nichtparallele Geraden schneiden. Und dieser Satz ist kein Axiom.

Es geht hier um affine Ebenen, die sind erstmal nur axiomatisch definiert. Insofern bringt dein Argument mit dem Zeichenblatt und dem Abstand hier nichts. Von Abständen kann man in affinen Ebenen überhaupt nicht sprechen. Bei Beweisen muss man sich an die Axiome halten.

Der \(\mathbb R^3\) ist keine affine Ebene, weil dort das Parallelenaxiom nicht erfüllt ist.

Answer 2

Wie habt ihr denn Parallelität definiert?
Die mir bekannte Definition lautet: "Zwei Geraden \(g\) und \(h\) heißen parallel (man schreibt \(g\parallel h\)), falls \(g=h\) oder sich die beiden Geraden nicht schneiden."
Mit dieser Definition bräuchte man nicht viel zeigen: Wenn sich zwei nichtparallele Geraden nicht schneiden würden, wären sie nach Definition parallel.