Beweisen Sie dass P(A) und P(B) Teilmengen von P(A und B) sind

Question

ich habe folgendes Problem:

A und B seien Mengen. Beweisen Sie die folgende Aussage:

P(A) U P(B) C P(A U B)

Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Mengen nicht gleich sein müssen.

Ich bin gerade am verzweifeln, wäre super, wenn jemand helfen könnte :)

Answer 1

kurz und schmerzlos:

$$ X \in P(A) \cup P(B) \Rightarrow X \subseteq A \vee X \subseteq B \Rightarrow X \subseteq A \cup B \Rightarrow  X \in P(A \cup B)$$

Beispiel darfst du dir selber ausdenken.

Gruß

Comments

Aber wie soll man mit einem Beispiel belegen, dass die Mengen nicht gleich sein müssen, wenn x doch immer den selben Wert hat?

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Kein Plan was du meinst. Wie wäre es wenn du einfach mal zwei Mengen A und B mit unterschiedlichen Elementen nimmst und die oben genannten Mengen bildest. Dann sollte sich das Brett lösen.

Answer 2

Ein Beispiel dafür, dass die Mengen P(A)∪P(B) und P(A∪B) nicht gleich sein müssen:

$$ A=\left\{ 1 \right\} $$

$$ B=\left\{ 2 \right\} $$

Daraus folgt:

$$ A\cup B=\left\{ 1;2 \right\} $$

$$ P\left( A \right) =\left\{ \left\{  \right\} ;\left\{ 1 \right\}  \right\} $$

$$ P\left( B \right) =\left\{ \left\{  \right\} ;\left\{ 2 \right\}  \right\} $$

$$ P\left( A \right) \cup P\left( B \right) =\left\{ \left\{  \right\} ;\left\{ 1 \right\} ;\left\{ 2 \right\}  \right\} $$

$$ P\left( A\cup B \right) =\left\{ \left\{  \right\} ;\left\{ 1 \right\} ;\left\{ 2 \right\} ;\left\{ 1;2 \right\}  \right\} $$

Da {1; 2} nicht in P(A)∪P(B) enthalten ist, gilt:

$$ P\left( A \right) \cup P\left( B \right) \neq P\left( A\cup B \right) $$