Beweisen der Ungleichung: (x + y +2z)^2 ≤ 6(x^2 + y^2 + z^2)

Question

ich soll die folgende Ungleichung beweisen:

"Es sei K ein pythagoräischer Körper. Beweisen Sie für alle x,y,z Element K die Ungleichung: (x + y +2z)² ≤ 6(x² + y² + z²), und für welche x,y,z besteht eine Gleichheit?"

Vollständige Induktion würde hier keinen Sinn machen.
Die Ungleichung umzuformen führt auch nicht zu einem klaren Ergebnis.

Weis gerade nicht weiter.

Comments

Gerade niemand online der weiter weis??

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Durch schätzen, also einsetzen, bin ich nur darauf gekommen, dass die Lösung für die drei Variablen x,y,z = 0 sein muss. Aber wie ich die Gleichung beweise ist mir noch immer unklar, da sich durch v.i. oder umformen nichts sinnvolles ergibt.

Ich könnte noch den Ansatz machen:

x + y + z ≤ x^{2} + y^{2} + z^{2}

Für 0 wäre die Gleichung für alle x,y,z erfüllt. Jedoch wüsste ich nicht, wie ich hier so umformen kann, dass obiges daraus folgt.

Answer 1

Die Ungleichung lässt sich umformen zu

0<=(x-y)²+2(x-z)²+2(y-z)²+2x²+2y².

Da k²>=0 für alle Elemente k von K, folgt die Behauptung, und auch, dass Gleichheit genau dann gilt, wenn x=y=z=0. Denn damit Gleichheit gilt, müssen alle Quadrate in obiger Summe gleich 0 sein, also insbesondere 2x²=0 und 2y²=0, woraus x=0=y folgt, und auch 2(x-z)²=0, woraus dann x-z=0 folgt, also z=0.

Comments

Wünsche noch einen schönen Sonntag :-)

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Sicher, dass die Umformung so stimmt ? Dafür bräuchtest du ja 4z^2.. durch ausmultiplizieren der linken Seite erhält man jedoch nur 4z^2, und dann auf die rechte seit bringen mit 6-4 =2, also hast du doch nur 2z^2, oder? :)

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Da hat der andere Gast recht. Der Schluss war mir sofort klar, aber durch Nachrechnen ergibt sich:

(x-y)² + (x-z)² + (y-z)² + 3x² + 3y² - 2xz - 2zy ≥ 0

Wobei ich hier nicht mehr viel vereinfachen kann, höchstens -2(xz) - 2(zy) was nicht viel "vereinfacht".

Hat jemand eine Idee, wie man hier weiterverfahren kann?

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Ich kann die Umformung auch nicht nachvollziehen. Von da an ist der Rest ja logisch, aber wie kommst du von der Ungleichung der Aufgabe auf diese Ungleichung?

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An sich die linke Seite ausmultiplizieren und dann die rechte Seite minus die linke Seite .. Oder? :)

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Aus (x + y + 2z)²  folgt: x² + y² + 4z² + 2xy + 4xz + 2yz
Dies subtrahieren und es folgt:
0 ≤ 5x² + 5y² + 2z² - 2xy - 4xz - 2yz 
Nun kann man die rechte Seite bis (x-y)² + (x-z)² + (y-z)² + 3x² + 3y² - 2xz - 2zy ≥ 0

Mich würde auch interessieren, wie derjenige auf diese Umformung gekommen ist.

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Oder (x-y)^2 + 2(x-z)^2 +2x^2 +4y^2 - 4yz >= 0

Dann stört an sich nur noch dieses -4yz..

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Genau, so kann man auch umformen.

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Ich habs:

Ganz am Anfang kann man bei der Ungleichung die rechte Seite anstelle von 6*(...) einfach mit 8*(...) ersetzen, denn wenn ich halt 2 mal mehr das in den Klammern multipliziere, dann sollte das immernoch größer als die linke Seite der Ungleichung sein, solange das in den Klammer >=0 ist.

Und schon lässt sich alles hübsch umformen, sodass am Ende nur noch Quadrate dort stehen.

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Stimmt! Oder statt der 8*(...), 6*(...) + 2z^2 , dann passt das ja auch :)

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Nein, das geht nicht so einfach, aus einer 6 einfach 8 zu machen und nichts auf der linken Seite zu verändern. Noch haben wir nicht gezeigt, dass die linke Seite kleiner gleich die rechte Seite sein soll.

Habe es endlich geschafft:

(x-y)² + (z - 2x)² + (z - 2y)² ≥ 0

Tipp: Ausmultiplizieren und dann Wert auf den Binom (a + 2b)² legen ;-)

Grüße