Reihen konvergent oder absolut konvergent? für: a)…, b) 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 …

Question

Untersuchen Sie \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz für

a) \( a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 / n^{2} & \text { falls } n \text { gerade } \\ 1 / 2^{n} & \text { sonst }\end{array}\right. \)

b) \( a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 / n & \text { falls } n \text { gerade } \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)

Answer 1

In a) und b) kommen keine negativen Summanden vor. Deshalb wird absolute Konvergenz und Konvergenz in beiden Teilaufgaben gleichzeitig untersucht.

b) an ist dasselbe, wie wenn du eine die Reihe zur Folge

bn = 1/(2n) betrachtest.

So kommen nur gerade Summanden vor.

Nun ist aber 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 … dasselbe wie

=1/2(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4…)

=1/2* Harmonische Reihe

Da die Harmonische Reihe gegen Unendlich divergiert, ist auch 1/2 davon noch Unendlich. Daher divergent. 

Comments

Wie kann ich das denn mathematisch als Aussage beweisen?

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b) sollte so als Beweis genügen. Du darfst noch zusätzlich ein paar Summenzeichen ergänzen, wenn du unbedingt willst.