Lineare Algebra (Teilräume). Basen des C^2 auswählen aus {(-1,2),(0,2),(2,-4),(0,0)}

Question

habe diese Aufgaben in einer alten Probeklausur gefunden, bin mir aber nich sicher ob meine Lösungen richtig sind, kann mir jemand vielleicht die Lösungen und vielleicht einige Ansätze zur Problemlösung nennen?

Mir bereitet vor allem der Ausdruck C² Schwierigkeiten, da ich mir diesen nicht mit seinen Komponenten vorstellen kann.

Soll ich für Aufgabe 3 nur zwei Vektoren der Menge für zwei unterschiedliche Basen auswählen?

Comments

Als Basen kommen 

{v1, v2} und {v2,v3} in Frage.

C^2 braucht dich nicht zu stören. Die skalaren Faktoren können aus C stammen. Die Basen müssen daher kein i enthalten. C = Komplexe Zahlen. 

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Und wie erhalte ich am besten Basen für den Teilraum aus Aufgabe 4?

Sind dafür zwei Vektoren notwendig (Linear unabhängig zueinander), 

die beide Elemente mit Vielfachen von a enthalten?

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Nein B = { (-1, 1,2) } ist Basis genug. 

und C^2 ist kein Teilraum von R^2. 

C^2 enthält z. B. den Vektor  (i, 2i) , der nicht in R^2 ist. 

Achtung: Kontrolliere meine Antwort mit deinen Unterlagen. Habe so was länger nicht mehr gemacht. 

Answer 1

Nein B = { (-1, 1,2) } ist Basis genug. 

In der Tat, denn eine Basis von T ist eine Familie von Vektoren aus T,

mit denen man jedes x aus T erzeugen  kann und die lin. unabh.

sind.

jedes x aus T ist von der Form ( -a, a,2a) = a *  (-1, 1,2) deshalb ist

B ein Erzeugendendsytem und ein von 0 verschiedener Vektor in R^3

ist immer lin. unabh.  Also ist B eine Basis von T .