Wie sehen die folgenden Teilräume von R^2 aus? (Berechnung) - Wie kommt mn auf die Lösungen.

Question

Könnte ihr mir erklären, wie man hier vorgegangen ist?

Aufgabe:

Wie sehen die folgenden Teilräume von ℝ² aus? Berechnung/Skizze.

a) \( U _ { 1 } = \operatorname { span } \{ \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \} \)

b) \( U _ { 2 } = \operatorname { span } \{ \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] \} \)

c) \( U _ { 3 } = \operatorname { span } \{ \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \} \)

d) \( U _ { 4 } = \operatorname { span } \{ \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { - 2 } \\ { - 2 } \end{array} \right] \} \)

Lösungen:

Es tut mir leid, dass ich die Aufgaben nicht abschreibe, aber es besteht kein Kopierschutz auf öffentlichen Aufgaben.

Bedanke mich wie immer im Voraus

Answer 1

  Span   ( = lineare Hülle ) und Linearkombination ?  Das führt dich dann direkt auf ein  LGS .    Ich trachte also stets danach, aus deinen Vektoren den Vektor  ( a | b )  zusammen zu setzen.

    U1

      x  =  a      (  1a  )

      0  =  b      (  1b  )

   Die Hülle besteht demnach aus allen Vektoren der Form ( a | 0 )  ; sprich:  allen Vielfachen des Vektors  ( 1 | 0 )  Jetzt U2

      x  +  y  =  a       (  2a  )

              y  =  b      (  2b  )

    ( 2ab )      bilden ein  LGS  im Gaußschen Dreiecksformat . Seine Lösung

       y  =  b  ;  x  =  a  -  b    (  2c  )

    Die Lösung  (  2c  )  ist vor allem eines:    EINDEUTIG  .  Und das  LGS  stellt tatsächlich den allgemeinsten Vektor  ( a | b ) dar.   Jetzt habe ich etwas für dich getan; jetzt tu mal was für mich.  schau mal in Wiki, was eine Basis ist. Dort bekommst du vier äquivalente Eigenschaften gelistet;  ICH habe sie auswändig gelernt:

    1) eindeutig Erzeugendes .

    Das ist es nämlich .  U1 war gar kein Erzeugendes;  und U2 ist sogar eindeutig ( Erläuterungen siehe Wiki . )  Claro; jede Basis des |R ²  besteht schließlich aus zwei Vektoren;  bilden zwei Vektoren ein Erzeugendes, so sicher auch ein  eindeutig Erzeugendes wie im Falle  ( 2a-c )

   Unter Punkt 2) findest du in Wiki:  MINIMALES  Erzeugendes  . Weniger wie zwei Vektoren werden den |R ² nie erzeugen;  siehe dein Beispiel U1 .  Jetzt zu U3

        x  +  y          =  a          (  3a  )

                y  +  z  =  b          (  3b  )

   Tatsächlich besitzen  ( 3ab )  eine Lösung, z.B.   x = a , y = 0 , z = b  In dieser besonderen Lösung ignorieren wir den Vektor v2 .  Aber die Lösung ist eben nicht eindeutig wie ich schon sagte.  Drei Vektoren können durchaus ein Erzeugendes  des   R  ²  bilden,  aber selbst redend kein minimales Erzeugendes .  Und daraus folgt eben: Auch kein eindeutig Erzeugendes; es gibt mehrere Zerlegungen nach den drei Vektoren u , v und w .

   U4 ist wieder spannend .

        x  -  2  y  =  a          (  4a  )

        x  -  2  y  =  b          (  4b  )

     Im Allgemeinen ist ja b verschieden von a , beide haben miteinander überhaupt nichts zu tun.  Jetzt wende mal das Subtraktionsverfahren an  (  4a - 4b )

        a  -  b  =  0      (  4c  )

    D.h. so bald a nicht mit b übereinstimmt, brettert  ( 4c ) auf einen Widerspruch;   what is sere loose?   Die beiden Vektoren  ( 1 | 1 ) und ( - 2 | - 2 )  sind ja ===> kollinear  ===>  linear abhängig .  Aus denen kannst du nur so etwas machen wie ( a | a )  Die Forderung, mit ihrer Hilfe den allgemeinen Vektor  ( a | b ) darzustellen, führt uns auf einen Widespruch .

Answer 2

Hallo

 U2 und U3 enthalten 2 linear unabh, Vektoren,das wird mit der Rechnung gezeigt, muss man aber nicht so machen, 2 nicht kolineare Vektoren in R2 sind immer lin. unabh. damit spannen sie ganz R2 auf. U3 hat nur 2 kolineare Vektoren also ein 1d Unterraum ebenso wie U1, 1d UR sind Geraden durch 0 mit der Steigung des Vektors, der sie aufspannt.

Gruß lul

Comments

Hi, nehmen wir mal an, dass Begriffe wie lineare Unabhängigkeit oder Kollinearität noch unbekannt sind.

Man soll hier nur mit dem Begriff Span und Linearkombination arbeiten.

Deswegen verstehe ich die Vorgehensweise dort nicht, könntest du es bei U2 mal ausführlicher machen?

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 dann musst du zeigen, dass du mit Vektoren aus dem Span jeden beliebigen Vektor (x₁,x₂) erreichen kannst.  also r*(1,0)+s*(0,1)=(x₁,x₂) und findet direkt r=x₁,s=x₂ tun es, in der Lösung wurde (1,0) und (1,1) verwendet also :

r*(1,0)+s*(1,1)=(x₁,x₂)  folgt r+s=x₁, 0+s=x₂  also s=x₂, r=x₁-x₂

diese einfache Zwischenrechnung wurde weggelassen ( man macht sie im Kopf) und man schreibt direkt: (x₁-x₂)*(1,0)+ x₂*(1,1)=(x₁,x₂)

jetzt klar?

Gruß lul