Matematiker sind doch groß in Fallunterscheidung; betrachte erst mal den Sonderfall a = 0 . Da brauchst du die Eigenschaft " Körper " gar nicht; Ring ( d.h. Algebra ) tut es auch. Ist b = c , so lösen alle x trivial deine Gleichung; sind b und c verschieden, ist die Lösungsmenge leer. jetzt sei a < > 0 .
a x + b = c | - b ( 1 )
a x = c - b | : a ( 2 )
Schon auf einer beliebigen Algebra ist die Subtraktion ja ausführbar. In ( 2 ) benötigen wir aber speziell die Körperaxiome; wir multiplizieren mit dem Inversen von a . Die Schreibweise " geteilt durch a " ist zulässig, weil die Multiplikation kommutativ sein soll; es ist egal, ob du von Links oder Rechts mit a ^ -1 multiplizierst.
x = ( c - b ) / a ( 3 )
Damit wäre Eindeutigkeit der Lösung gezeigt; " WENN das Wörtchen Wenn nicht wär ... "
Dir obliegt noch, in ( 1 ) die Probe auf ( 3 ) zu machen, dass die Lösung auch immer existiert.
