lineare Algebra / Textaufgabe

Question

Huhu wäre super wenn mir jemand bei der f helfen könnte das andere habe ich alles die Ebene ist E: x1-2x2+x3=4

Comments

Welches ist denn das f) ? Du hast ja alles überschrieben.

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f) ist das unterste - die Teilaufgaben sind ausnahmsweise alphabetisch geordnet.

Aber ein wenig mehr Mühe beim Einstellen der Aufgaben wäre beantwortungsmotivierender ...

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f) ist offensichtlich die untere Aufgabe. Wie habt ihr Abstände zwischen Punkt und Ebene berechnet? Habt ihr hierfür eine Formel gelernt?

Answer 1

Hallo Lilli,

P( 4 | -2t | 2t )  soll von der Ebene  E: x₁ - 2x₂ + x₃ = 4   den Abstand  d = √6 haben .

E hat  \(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) als Normalenvektor  

  \(\vec{no}\) = 1/√6 • \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist der zugehörige Normaleneinheitsvektor.

 \(\vec{a}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist Ortsvektor des Punktes A(4|0|0) ∈ E.

Für den Abstand des Punktes P von E gilt:  d(P,E) = |  \(\vec{no}\) •  \(\vec{p}\)  -  \(\vec{no}\) •  \(\vec{a}\) |

also  d(P,E) = | 1/√6 • \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)  •   \( \begin{pmatrix} 4 \\ -2t \\ 2t\end{pmatrix}\) - 1/√6 • \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) •  \( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) |

d(P,E) = 1/√6 • | 4 + 6t  - 4 | = 1/√6 • | 6t |  = | 6/√6 • t | = | √6 • t |

d(P,E) = √6  gilt also für  t = 1  oder  t = -1

Gruß Wolfgang