Isomorphieklassen und Operationstafeln

Question

Hi, oben seht ihr meine Aufgabenstellung!

Leider komme ich da nicht weiter.

zu a)

Meine Idee war es 180 in Primzahlen zu zerlegen (2x2x3x3x5) und dann jegliche Isomorphieklassen hinzuschreiben: für 2²x3³x5->Z4xZ9xZ5 ⇒ Z180,dann für 2x2x3³x5, 2²x3x3x5 usw. In der Uni haben wir sie dann unterstrichen und fanden so die Isomorphieklassen, leider hatte ich keinen Farbstift zur Hand und kann jetzt aus meinen Notizen nicht rauslesen wie wir es gemacht haben...

zu b)

Hier komm ich leider auf keinen Ansatz. Wie stelle ich die Operationstafel auf`? Brauche ja a und b für wie komme ich auf die ?

MfG Marvin

Answer 1

zu b)

+        0       1         a             b

--------------------------------------

0    |   0       1         a             b
      |
1    |   1       0      
      |
a    |   a     
      |
b    |   b

soweit ist alles gegeben.

a+1 kann nicht gleich a sein, da 1 ungleich 0.

also a+1 = b und damit b+1 = a . Also

0       1         a             b

--------------------------------------

0    |   0       1         a             b
      |
1    |   1       0        b             a
      |
a    |   a       b        
      |
b    |   b      a

und wegen  a+a = a*1 + a*1 = a * ( 1+1 ) = a * 0 = 0

0       1         a             b

--------------------------------------

0    |   0       1         a             b
      |
1    |   1       0        b             a
      |
a    |   a       b        0
      |
b    |   b      a                         0
und die beiden letzten Positionen sind dann
mit 1en zu belegen.

und Multiplikation:

*        0       1         a             b

--------------------------------------

0    |   0       0        0             0
      |
1    |   0        1         a           b      
      |
a    |   0        a         
      |
b    |   0        b

aber wegen a ungleich 1 kann a*a nicht gleich a,

sein, also a*a=b und damit a*b=1

*        0       1         a             b

--------------------------------------

0    |   0       0        0             0
      |
1    |   0        1         a           b      
      |
a    |   0        a          b         1
      |
b    |   0        b         1           a