Nullstelle und Extremstelle bestimmen von f(x)=e^4x-4-3e^2x

Question

Bestimme die Null-&Extremstellen von f.

f(x)=e^4x-4-3e^2x

Answer 1

mache Substitution

e^{2x}=p

jetzt ist für die Nullstellen zu lösen

p^2-3p-4=0

p-q-Formel, dann Rücksubstitution

Comments

Hab ich probiert ich komme immer auf das falsche Ergebnis . Könntest du mir den Rechenweg zeigen ?

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p-q-Formel sollte klar sein zwei Lösungen -1 und 4

jetzt Rücksunstitution, erübrigt sich für -1

e^{2x}=4

ln[e^{2x}]=ln[4]

2x=ln[4]

x=0,5*ln[4]

du hast die Nullstelle

Answer 2

Nullstellen ohne Substitution:

\( e^{4x} -4-3e^{2x}=0\)

\( e^{4x}-3e^{2x}=4\)

\((e^{2x}-1,5)^2=4+2,25=6,25|±\sqrt{~~} \)

1.)

\(e^{2x}-1,5=2,5\)

\(e^{2x}=4 \)

\(2x\cdot \ln(e)=\ln(4) \)   mit    \( \ln(e)=1\)

\(x=0,5 \ln(4) \) 

2.)

\(e^{2x}-1,5=-2,5\)

\(e^{2x}=-1 \) keine Lösung \(∈  ℝ\)

Extremstellen:

\(f(x)= e^{4x} -4-3e^{2x}\)

\(f'(x)= 4e^{4x}-6e^{2x}\)

\( 4e^{4x}-6e^{2x}=0\)

\(e^{2x}( 4e^{2x}-6)=0\)

\(e^{2x}≠0\)

\( 4e^{2x}-6=0\)

\( 2e^{2x}=3\)

\( e^{2x}=1,5\)

\( 2x\cdot \ln(e)=\ln(1,5)\)      mit \( \ln(e)=1\)

\( x=\frac{\ln(1,5)}{2}\)

\(f(\frac{\ln(1,5)}{2})= e^{4\cdot \frac{\ln(1,5)}{2}} -4-3e^{2\cdot\frac{\ln(1,5)}{2}}\\=e^{ 2\ln(1,5)} -4-3e^{\ln(1,5)}\\=2,25-4-4,5=-6,25\)

Comments

e^(4x) -3e^(2x)-4 = 0

Vieta:

(e^(2x)-4)*(e^(2x)+1) = 0

e^(2x)=4

2x = ln4

x = ln4/2

Der 2. Faktor hat keine Nullstelle.

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x = 0,5 ln(4)

Menschen mit etwas Hintergrundwissen würden hier eine wesentlich einfachere Lösung schreiben.

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Du möchtest ihm vorschlagen, es als

\( 0,5 \text{ ln(4)} = 2\cdot \text{arcoth(3)} \)

zu schreiben?

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ln4= ln2^2 = 2*ln2 , mit 2 gekürzt:

-> x= ln2

Ich denke, darum geht es. Als wesentliche Vereinfachung sehe ich das nicht.

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PS: Ich würde das Ergebnis-Kosmetik nennen.

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Das ist nicht zu unterschätzen, wenn man mit sowas weiterrechnen muss. Deswegen sollte man sich das gleich angewöhnen, zu vereinfachen. Aber er rechnet ja auch viel lieber mit Dezimalzahlen und nimmt Rundungssfehler in Kauf...

Ansonsten: \(x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)

Answer 3

$$\begin{aligned} f(x)&=\textrm{e}^{4x}-4-3\textrm{e}^{2x}\\   &=\left(\textrm{e}^{2x}\right)^2-1-3-3\textrm{e}^{2x}\\   &=\left(\textrm{e}^{2x}-1\right)\cdot\left(\textrm{e}^{2x}+1\right)-3\cdot\left(1+\textrm{e}^{2x}\right)\\   &=\left(\left(\textrm{e}^{2x}-1\right)-3\right)\cdot\left(\textrm{e}^{2x}+1\right)\\   &=\left(\textrm{e}^{2x}-4\right)\cdot\left(\textrm{e}^{2x}+1\right)\\   &=\left(\textrm{e}^{x}-2\right)\cdot\left(\textrm{e}^{x}+2\right)\cdot\left(\textrm{e}^{2x}+1\right)\\ \end{aligned}\\$$Nur der erste Faktor kann Null werden und er wird es genau dann, wenn \(x=\ln(2)\) ist. Ähnlich lassen sich auch die Extremstellen finden.