folgen und Grenzwerte Uni mathe

Question

Bin einfach total überfordert mit allen Aufgaben... Hilfe bitte :(

Answer 1

Bei (i) musst du die Klammern auflösen und dann im Zähler

und Nenner   n^20 ausklammern, das gibt dann sowas

zähler   /    (     n^20 * ( 23 + 9/n^11  + 19/ n^15 )

und dann kannst du durch n^20 kürzen und

es bleibt nur übrig was in Klammern steht,

Die Summanden mit den Potenzen von n im

Nenner sind alles Nullfolgen und so erhältst

du als Grenzwert

?   /   23

(ii)  Stell dir das als Bruch mit dem Nenner 1 vor,

erweitere mit

wurzel(n+1) + wurzel(n)

wende dann im Zähler die 3. binomi. Formel an,

dann wird es klarer.

Comments

Ist bei 1i) 68/23 richtig? Danke. Das hab ich verstanden :))

Aber das bei ii) mit dem Bruch hab ich noch nicht ganz...

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i) ist richtig

ii) gibt nach dem Erweitern und 3. binomi

wurzel(n) * ( n+1) - n )    /     (   wurzel(n+1) + wurzel(n)  )

= wurzel(n)     /     (   wurzel(n+1) + wurzel(n)  )  

= 1  /    (   wurzel((n+1)/n)   +    1   )  

Da   (n+1)/n gegen 1 geht, ist der

GW   =   1 /   ( 1 + 1 )   = 1/2

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Ok Aufgabe eins hab ich verstanden. Bei ii ist mir zwar nicht klar wie man diesen Bruch aufstellt am Anfang aber ok

Aber der Rest macht auch echt Probleme. 2+3... Hab gerade schon Kommilitonen gefragt. Irgendwie weiß keiner wie es geht...

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Bei 2 fällt mir zu der Ungleichung auch nicht gleich was ein,

( vielleicht Bernoulliungleichung oder so ??? )

aber wenn sie bewiesen ist, ist die Grenzwertaussage

ja klar, da  n-te Wurzel aus n zwischen zwei Werten liegt,

die für n gegen unandlich beide gegen 1 gehen.

Bei 3: wenn es einen Grenzwert g gibt, dann geht ja sowohl

a_n als auch a_n+1 gegen dieses g, d.h. es gilt:

g = 1 + 1/g Das löst du und bekommst

g = 1/2 ± wurzel ( 5/4 ).

Da aber alle Folgengleider positiv sind, ist

g =  1/2 + wurzel ( 5/4 )  richtig.

3 (ii) geht wohl mit vollst. Induktion.

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was meinst du mit 5/4 in der Klammer?

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wurzel aus 5/4

bzw. wurzel aus 1,25

oder auch (1/2) * wurzel(5)

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Aber wo kommt das her? Habe doch nirgends eine 5 oder 4 stehen in der Aufgabe...

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g = 1 + 1/g Das löst du und bekommst

g = 1/2 ± wurzel ( 5/4 ).

Ich mach mal was langsamer:

g = 1 + 1/g    | *g

g^2 = g + 1

g^2 - g - 1 = 0

jetzt pq-Formel mit p=-1 und q = -1

x =  1/2 ± wurzel (   1/4  + 1 )

= 1/2 ± wurzel (   5/4  )